Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{3 x - 5}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{3 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Paso 2.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 4.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3 - 5 \cdot 0}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3 + 0}$

Paso 6.2.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Forma decimal:

$0.47140452 \dots$