Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Paso 3

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $π$ y $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

Paso 7.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{8})$ es $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 7.2.2

Aplica la razón del ángulo mitad de la tangente.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

Paso 7.2.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque la tangente es positiva en el primer cuadrante.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Paso 7.2.4

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Paso 7.2.4.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Paso 7.2.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Paso 7.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Paso 7.2.4.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 7.2.4.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 7.2.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 7.2.4.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Paso 7.2.4.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.4.8.1

Cancela el factor común.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Paso 7.2.4.8.2

Reescribe la expresión.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Paso 7.2.4.9

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Paso 7.2.4.10

Multiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Paso 7.2.4.11

Expande el denominador con el método PEIU.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 7.2.4.12

Simplifica.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.13

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.4.14.1

Cancela el factor común.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.14.2

Reescribe la expresión.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.15

Combina $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.16

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.4.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.16.2

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 7.2.4.16.2.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Paso 7.2.4.16.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Paso 7.2.4.16.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Paso 7.2.4.16.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.16.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.4.16.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.2.4.16.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.16.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Paso 7.2.4.16.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Paso 7.2.4.16.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.4.16.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Paso 7.2.4.16.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Paso 7.2.4.16.3.1.5

Evalúa el exponente.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 7.2.4.16.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Paso 7.2.4.16.4

Cancela el factor común de $2 \sqrt{2} - 2$ y $2$ .

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Paso 7.2.4.16.4.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Paso 7.2.4.16.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Paso 7.2.4.16.4.3

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Paso 7.2.4.16.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.4.16.4.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Paso 7.2.4.16.4.4.2

Cancela el factor común.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Paso 7.2.4.16.4.4.3

Reescribe la expresión.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Paso 7.2.4.16.4.4.4

Divide $\sqrt{2} - 1$ por $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Paso 7.2.4.16.5

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Paso 7.2.4.16.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Paso 7.2.4.17

Suma $2$ y $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.18

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$3.31370849 \dots$