Cálculo Ejemplos

$6 x y + 1 = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (6 x y + 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x y + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x y$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (x y' + y) + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x y') + 6 y + 0$

Paso 2.4.2

Suma $6 x y' + 6 y$ y $0$ .

$6 x y' + 6 y$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x y' + 6 y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x y' = - 6 y$

Paso 5.2

Divide cada término en $6 x y' = - 6 y$ por $6 x$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $6 x y' = - 6 y$ por $6 x$ .

$\frac{6 x y'}{6 x} = \frac{- 6 y}{6 x}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x y'}{6 x} = \frac{- 6 y}{6 x}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 6 y}{6 x}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 6 y}{6 x}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $6$ de $- 6 y$ .

$y' = \frac{6 (- y)}{6 x}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$y' = \frac{6 (- y)}{6 (x)}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{6 (- y)}{6 x}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{x}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$