Cálculo Ejemplos

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = y^{2} - 4$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.6

Suma $2 y y'$ y $0$ .

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.7

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.1

Mueve $y$ .

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.7.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 2.7.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2} - 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.10

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

Paso 2.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

Paso 2.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Paso 2.11.4

Combina los términos.

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Paso 2.11.4.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Paso 2.11.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Paso 2.11.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Paso 2.11.4.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Paso 2.11.4.5

Suma $y^{3} (2 y')$ y $2 y^{3} y'$ .

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Paso 2.11.4.5.1

Reordena $y^{3}$ y $2$ .

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Paso 2.11.4.5.2

Suma $2 \cdot y^{3} y'$ y $2 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

Paso 3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 5$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

Paso 3.7.3

Combina los términos.

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Paso 3.7.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

Paso 3.7.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

Paso 3.7.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

Paso 3.7.3.4

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

Paso 3.7.3.5

Suma $2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Factoriza $4 y y'$ de $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $4 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 5.1.2

Factoriza $4 y y'$ de $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 5.1.3

Factoriza $4 y y'$ de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $y^{2} - 2$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 10 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Paso 5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Paso 5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 5.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$