Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{3} - x + 5 y = 3$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{3} - x + 5 y) = \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{3} - x + 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 y'$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1$

Paso 3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 5 y' - 1 = - 2 x$

Paso 5.1.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 5 y' = - 2 x + 1$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y' + 5 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 5 y' = - 2 x + 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5 = - 2 x + 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5$ .

$y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ por $3 y^{2} + 5$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ por $3 y^{2} + 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{2} + 5$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x + 1}{3 y^{2} + 5}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + 1}{3 y^{2} + 5}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 1)}{3 y^{2} + 5}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$