Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{2 \sin^{2} (θ)}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} 1 - \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} 1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (θ)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3.4.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3.4.4

Multiplica $\sin (θ)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \sin (θ)$ .

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Paso 2.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 2.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 2.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 2.3.7

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Reordena los factores de $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Paso 2.3.8.2

Reordena $2 \cos (θ)$ y $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 2 \cos (θ)}$

Paso 2.3.8.3

Reordena $\sin (θ)$ y $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cdot \sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 2.3.8.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (2 θ)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 3.1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 3.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (2 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \sin (θ)$ y $g (θ) = 2 θ$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 3.3.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 3.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 θ$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2}$

Paso 3.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{2 \cos (2 θ)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ)}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Paso 4.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Paso 4.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $θ$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 6.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$