Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \ln (x))}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (8))}$

Paso 4

Combina $\frac{1}{8}$ y $\ln (\ln (8))$ .

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

Forma decimal:

$1.09583038 \dots$