Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{8} - 1}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Paso 4

Mueve el exponente $10$ de $x^{10}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - lim_{x \to - 8} 1}$

Paso 7

Mueve el exponente $8$ de $x^{8}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - lim_{x \to - 8} 1}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $10$ .

$\frac{\sqrt{1073741824 - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{1073741824 - 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 10.1.3

Resta $1$ de $1073741824$ .

$\frac{\sqrt{1073741823}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 10.1.4

Reescribe $1073741823$ como $3^{2} \cdot 119304647$ .

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Paso 10.1.4.1

Factoriza $9$ de $1073741823$ .

$\frac{\sqrt{9 (119304647)}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 10.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 119304647}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 10.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $8$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777216 - 1 \cdot 1}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777216 - 1}$

Paso 10.2.3

Resta $1$ de $16777216$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777215}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $3$ y $16777215$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{119304647}$ .

$\frac{3 (\sqrt{119304647})}{16777215}$

Paso 10.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $3$ de $16777215$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{3 \cdot 5592405}$

Paso 10.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{3 \cdot 5592405}$

Paso 10.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{119304647}}{5592405}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{119304647}}{5592405}$

Forma decimal:

$0.00195312 \dots$