Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{\sqrt{x^{4} - 1}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 3 x - 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Paso 5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Paso 7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - 1}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 9

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.1.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.1.3

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$\frac{128 - 24 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.1.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{128 - 24 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.1.5

Resta $24$ de $128$ .

$\frac{104 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.1.6

Resta $6$ de $104$ .

$\frac{98}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1}}$

Paso 12.2.3

Resta $1$ de $4096$ .

$\frac{98}{\sqrt{4095}}$

Paso 12.2.4

Reescribe $4095$ como $3^{2} \cdot 455$ .

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Paso 12.2.4.1

Factoriza $9$ de $4095$ .

$\frac{98}{\sqrt{9 (455)}}$

Paso 12.2.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{98}{\sqrt{3^{2} \cdot 455}}$

Paso 12.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{98}{3 \sqrt{455}}$

Paso 12.3

Multiplica $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ por $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98}{3 \sqrt{455}} \cdot \frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$

Paso 12.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.4.1

Multiplica $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ por $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \sqrt{455} \sqrt{455}}$

Paso 12.4.2

Mueve $\sqrt{455}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 (\sqrt{455} \sqrt{455})}$

Paso 12.4.3

Eleva $\sqrt{455}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} \sqrt{455})}$

Paso 12.4.4

Eleva $\sqrt{455}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} {\sqrt{455}}^{1})}$

Paso 12.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{1 + 1}}$

Paso 12.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{2}}$

Paso 12.4.7

Reescribe ${\sqrt{455}}^{2}$ como $455$ .

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Paso 12.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{455}$ como $455^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {(455^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{1}}$

Paso 12.4.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455}$

Paso 12.5

Cancela el factor común de $98$ y $455$ .

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Paso 12.5.1

Factoriza $7$ de $98 \sqrt{455}$ .

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{3 \cdot 455}$

Paso 12.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.5.2.1

Factoriza $7$ de $3 \cdot 455$ .

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Paso 12.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Paso 12.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{14 \sqrt{455}}{3 \cdot 65}$

Paso 12.6

Multiplica $3$ por $65$ .

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Forma decimal:

$1.53143695 \dots$