Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x + 1})}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{x}{x + 1})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x + 1})}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1})}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica $8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 + 1})}^{8})}$

Paso 4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(\frac{8}{8 + 1})}^{8}$

Paso 4.3

Suma $8$ y $1$ .

${(\frac{8}{9})}^{8}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8^{8}}{9^{8}}$

Paso 4.5

Eleva $8$ a la potencia de $8$ .

$\frac{16777216}{9^{8}}$

Paso 4.6

Eleva $9$ a la potencia de $8$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{16777216}{43046721}$

Forma decimal:

$0.38974434 \dots$