Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 4

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Paso 9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 11

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 12

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $9$ por $64$ .

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Paso 14.1.3

Suma $576$ y $16$ .

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Paso 14.1.4

Reescribe $592$ como $4^{2} \cdot 37$ .

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Paso 14.1.4.1

Factoriza $16$ de $592$ .

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Paso 14.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Paso 14.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

Paso 14.2.2

Suma $512$ y $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

Paso 14.2.3

Reescribe $513$ como $3^{2} \cdot 57$ .

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Paso 14.2.3.1

Factoriza $9$ de $513$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

Paso 14.2.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

Paso 14.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

Paso 14.3

Multiplica $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ por $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

Paso 14.4

Multiplica $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ por $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

Paso 14.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Paso 14.6

Simplifica.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

Paso 14.7

Agrupa $2 - 3 \sqrt{57}$ y $\sqrt{37}$ .

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

Paso 14.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

Paso 14.9

Multiplica $- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ .

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Paso 14.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

Paso 14.9.2

Multiplica $37$ por $57$ .

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

Paso 14.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Forma decimal:

$0.98708074 \dots$