Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x^{2} + 1}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 1}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{2} + 1}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{2} + 1}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{2} + 1}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{2} + 1}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{2} + 1}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}$

Paso 7

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8^{3} + 8^{2} + 1}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 - 1 \cdot 1}{8^{3} + 8^{2} + 1}$

Paso 11.1.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128 - 1 \cdot 1}{8^{3} + 8^{2} + 1}$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{128 - 1}{8^{3} + 8^{2} + 1}$

Paso 11.1.4

Resta $1$ de $128$ .

$\frac{127}{8^{3} + 8^{2} + 1}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{127}{512 + 8^{2} + 1}$

Paso 11.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{127}{512 + 64 + 1}$

Paso 11.2.3

Suma $512$ y $64$ .

$\frac{127}{576 + 1}$

Paso 11.2.4

Suma $576$ y $1$ .

$\frac{127}{577}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{127}{577}$

Forma decimal:

$0.22010398 \dots$