Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{1}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide $\cos (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to 0} \cos (θ)$

Paso 4.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{θ \to 0} θ)$

Paso 5

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\cos (0)$

Paso 6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1$