Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{4} - x^{2}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 3 x + 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Paso 5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - x^{2}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{lim_{x \to - 8} x^{4} - lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Paso 8

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 3 lim_{x \to - 8} x + 1}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 3 \cdot - 8 + 1}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 3 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Paso 10.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 3 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 + 3 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Paso 11.1.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128 + 3 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Paso 11.1.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$\frac{128 - 24 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Paso 11.1.4

Resta $24$ de $128$ .

$\frac{104 + 1}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Paso 11.1.5

Suma $104$ y $1$ .

$\frac{105}{{(- 8)}^{4} - {(- 8)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{105}{4096 - {(- 8)}^{2}}$

Paso 11.2.2

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{105}{4096 - 1 \cdot 64}$

Paso 11.2.3

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$\frac{105}{4096 - 64}$

Paso 11.2.4

Resta $64$ de $4096$ .

$\frac{105}{4032}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $105$ y $4032$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $21$ de $105$ .

$\frac{21 (5)}{4032}$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $21$ de $4032$ .

$\frac{21 \cdot 5}{21 \cdot 192}$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{21 \cdot 5}{21 \cdot 192}$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{192}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{192}$

Forma decimal:

$0.026041\overline{6}$