Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{10 x} + e^{- 10 x}}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{10 x} + e^{- 10 x}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{10 x} + e^{- 10 x}] - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{10 x} + e^{- 10 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{10 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{10 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 10 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $10 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $10 x$ .

$\frac{x (e^{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (e^{10 x} (10 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $10$ por $1$ .

$\frac{x (e^{10 x} \cdot 10 + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3.2

Mueve $10$ a la izquierda de $e^{10 x}$ .

$\frac{x (10 \cdot e^{10 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 10 x$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 10 x$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 10 x$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{- 10 x} \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{- 10 x} (- 10 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{- 10 x} (- 10 \cdot 1)) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{- 10 x} \cdot - 10) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6.3.2

Mueve $- 10$ a la izquierda de $e^{- 10 x}$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} - 10 \cdot e^{- 10 x}) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} - 10 e^{- 10 x}) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 6.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} - 10 e^{- 10 x}) - (e^{10 x} + e^{- 10 x})}{x^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (10 e^{10 x}) + x (- 10 e^{- 10 x}) - (e^{10 x} + e^{- 10 x})}{x^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (10 e^{10 x}) + x (- 10 e^{- 10 x}) - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{10 x e^{10 x} + x (- 10 e^{- 10 x}) - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$

Paso 7.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{10 x e^{10 x} - 10 x e^{- 10 x} - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$\frac{10 e^{10 x} x - 10 e^{- 10 x} x - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$

Paso 7.5

Reordena los factores en $\frac{10 e^{10 x} x - 10 e^{- 10 x} x - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{10 x e^{10 x} - 10 x e^{- 10 x} - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$