Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} - x}}{x^{3} + 9}$

Paso 1

Factoriza $x$ de $9 x^{6} - x$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $9 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) - x}}{x^{3} + 9}$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) + x \cdot - 1}}{x^{3} + 9}$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $x (9 x^{5}) + x \cdot - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5} - 1)}}{x^{3} + 9}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{6}} = x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 5.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{5}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 7.1.2

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 7.5

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{5}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 9.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 9.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

Paso 9.4

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 \cdot 0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Divide $9 - 0$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

Paso 11.2

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

Paso 11.2.2

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{1 + 9 \cdot 0}$

Paso 11.2.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 + 9 \cdot 0}$

Paso 11.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3}{1 + 9 \cdot 0}$

Paso 11.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.3.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Paso 11.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3}{1}$

Paso 11.4

Divide $3$ por $1$ .

$3$