Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 1}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 1}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 \cdot 64 + 1}}$

Paso 8.1.2

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{8}{\sqrt{256 + 1}}$

Paso 8.1.3

Suma $256$ y $1$ .

$\frac{8}{\sqrt{257}}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{257}}$ por $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{257}} \cdot \frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$

Paso 8.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{257}}$ por $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{\sqrt{257} \sqrt{257}}$

Paso 8.3.2

Eleva $\sqrt{257}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} \sqrt{257}}$

Paso 8.3.3

Eleva $\sqrt{257}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} {\sqrt{257}}^{1}}$

Paso 8.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{2}}$

Paso 8.3.6

Reescribe ${\sqrt{257}}^{2}$ como $257$ .

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Paso 8.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{257}$ como $257^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{(257^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{1}}$

Paso 8.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8 \sqrt{257}}{257}$

Forma decimal:

$0.49902628 \dots$