Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{2 x^{2} - 4}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Paso 4

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Paso 5

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Paso 6

Mueve el término $64$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Paso 10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Paso 12

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 13.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 4096 + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.1.2

Multiplica $16$ por $4096$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 64 \cdot 64 + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.1.4

Multiplica $64$ por $64$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 4096 + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 4096 + 64}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.1.6

Suma $65536$ y $4096$ .

$\frac{\sqrt{69632 + 64}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.1.7

Suma $69632$ y $64$ .

$\frac{\sqrt{69696}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.1.8

Reescribe $69696$ como $264^{2}$ .

$\frac{\sqrt{264^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.1.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{264}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{264}{2 \cdot 64 - 1 \cdot 4}$

Paso 14.2.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{264}{128 - 1 \cdot 4}$

Paso 14.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{264}{128 - 4}$

Paso 14.2.4

Resta $4$ de $128$ .

$\frac{264}{124}$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $264$ y $124$ .

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Paso 14.3.1

Factoriza $4$ de $264$ .

$\frac{4 (66)}{124}$

Paso 14.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.2.1

Factoriza $4$ de $124$ .

$\frac{4 \cdot 66}{4 \cdot 31}$

Paso 14.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 66}{4 \cdot 31}$

Paso 14.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{66}{31}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{66}{31}$

Forma decimal:

$2.12903225 \dots$