Cálculo Ejemplos

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

Paso 1

Escribe $4 x^{3} - 9 x^{4}$ como una función.

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 9 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

Paso 2.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 36$ .

$- 108 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 108 x^{2} + 12 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 108 x^{2} + 24 x$ .

$- 108 x^{2} + 24 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $- 12 x$ de $- 108 x^{2} + 24 x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 12 x$ de $- 108 x^{2}$ .

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $- 12 x$ de $24 x$ .

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $- 12 x$ de $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $9 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $9 x - 2$ igual a $0$ .

$9 x - 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $9 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 2$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $9 x = 2$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 2$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{9}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 12 x (9 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{2}{9}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $\frac{2}{9}$ en $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2}{9}$ en la expresión.

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $4 (\frac{8}{729})$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Combina $4$ y $\frac{8}{729}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Paso 4.3.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

Paso 4.3.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

Paso 4.3.2.1.7

Eleva $9$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

Paso 4.3.2.1.8

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.3.2.1.8.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

Paso 4.3.2.1.8.2

Factoriza $9$ de $6561$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Paso 4.3.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Paso 4.3.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

Paso 4.3.2.1.9

Reescribe $- 1 (\frac{16}{729})$ como $- (\frac{16}{729})$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

Paso 4.3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 4.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

Paso 4.3.2.2.2

Resta $16$ de $32$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\frac{16}{729}$ .

$\frac{16}{729}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{2}{9}$ en $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ es $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 108$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $24$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

Paso 6.2.2

Resta $2.4$ de $- 1.08$ .

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 3.48$ .

$- 3.48$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 3.48$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{2}{9})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.\overline{1}$ en la expresión.

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.\overline{1}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 108$ por $0.01234567$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $24$ por $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

Paso 7.2.2

Suma $- 1.33333333$ y $2.\overline{6}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1.33333333$ .

$1.33333333$

Paso 7.3

En $0.\overline{1}$ , la segunda derivada es $1.33333333$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \frac{2}{9})$ .

Incremento en $(0, \frac{2}{9})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{2}{9}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.3\overline{2}$ en la expresión.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.3\overline{2}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 108$ por $0.10382716$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $24$ por $0.3\overline{2}$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

Paso 8.2.2

Suma $- 11.21333333$ y $7.73333333$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 3.48$ .

$- 3.48$

Paso 8.3

En $0.3\overline{2}$ , la segunda derivada es $- 3.48$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{2}{9}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{2}{9}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Paso 10