Cálculo Ejemplos

$x^{3} + 36 x^{2}$

Paso 1

Escribe $x^{3} + 36 x^{2}$ como una función.

$f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 36 (2 x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $36$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 72 x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 72 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [72 x]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $72 x$ con respecto a $x$ es $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 72 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x + 72 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $72$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 72$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x + 72$ .

$6 x + 72$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x + 72 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x + 72 = 0$

Paso 3.2

Resta $72$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x = - 72$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 x = - 72$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 x = - 72$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 72}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 72}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 72}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $- 72$ por $6$ .

$x = - 12$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 12$ en $f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 12$ en la expresión.

$f (- 12) = {(- 12)}^{3} + 36 {(- 12)}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $3$ .

$f (- 12) = - 1728 + 36 {(- 12)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$f (- 12) = - 1728 + 36 \cdot 144$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $36$ por $144$ .

$f (- 12) = - 1728 + 5184$

Paso 4.1.2.2

Suma $- 1728$ y $5184$ .

$f (- 12) = 3456$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $3456$ .

$3456$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 12$ en $f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$ es $(- 12, 3456)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 12, 3456)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 12)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 12.1$ en la expresión.

$f'' (- 12.1) = 6 (- 12.1) + 72$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $- 12.1$ .

$f'' (- 12.1) = - 72.6 + 72$

Paso 6.2.2

Suma $- 72.6$ y $72$ .

$f'' (- 12.1) = - 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 6.3

En $- 12.1$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 12)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 12)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 12, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 11.9$ en la expresión.

$f'' (- 11.9) = 6 (- 11.9) + 72$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $6$ por $- 11.9$ .

$f'' (- 11.9) = - 71.4 + 72$

Paso 7.2.2

Suma $- 71.4$ y $72$ .

$f'' (- 11.9) = 0.6$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 7.3

En $- 11.9$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 12, \infty)$ .

Incremento en $(- 12, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 12, 3456)$ .

$(- 12, 3456)$

Paso 9