Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4} - 3 x^{2} + x}{x^{3} - x + 2}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.1.2.4

Divide $x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 3}{x} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.1.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{x^{1}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.4.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{x \cdot 1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.4.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 3

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{3}{x}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 4

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 5

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{1 - 0 + \frac{2}{x^{3}}}$

Paso 6

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ , la fracción $\frac{2}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{1 - 0 + 0}$

Paso 7

Como su numerador no está acotado mientras que su denominador se acerca a un número constante, la fracción $\frac{x - 0 + 0}{1 - 0 + 0}$ se acerca al infinito.

$\infty$