Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$1 \frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}}$ por $1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 9 + e^{x}$ y $g (x) = 9 - e^{x}$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) \frac{d}{d x} [9 + e^{x}] - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 5.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 7.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 7.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 7.5

Multiplica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + 1 (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 7.5.2

Multiplica $9 + e^{x}$ por $1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 9

Multiplica $\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}}$ por $\frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{{(9 - e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 + e^{x}) {(9 - e^{x})}^{2}}$

Paso 10

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1

Factoriza $9 - e^{x}$ de $(9 + e^{x}) {(9 - e^{x})}^{2}$ .

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 - e^{x}) ((9 + e^{x}) (9 - e^{x}))}$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 - e^{x}) ((9 + e^{x}) (9 - e^{x}))}$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 e^{x} - e^{x} e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 e^{x} - e^{x} e^{x} + 9 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Combina los términos opuestos en $9 e^{x} - e^{x} e^{x} + 9 e^{x} + e^{x} e^{x}$ .

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Paso 11.3.1.1

Suma $- e^{x} e^{x}$ y $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{9 e^{x} + 9 e^{x} + 0}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Paso 11.3.1.2

Suma $9 e^{x} + 9 e^{x}$ y $0$ .

$\frac{9 e^{x} + 9 e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Paso 11.3.2

Suma $9 e^{x}$ y $9 e^{x}$ .

$\frac{18 e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$