Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{3 - \sqrt{6 x + 21}}{x + 2}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 - \sqrt{6 x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 - lim_{x \to - 2} \sqrt{6 x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{3 - lim_{x \to - 2} \sqrt{6 x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to - 2} 6 x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to - 2} 6 x + lim_{x \to - 2} 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.1.5

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{6 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $21$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{3 - \sqrt{6 lim_{x \to - 2} x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{6 \cdot - 2 + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{3 - \sqrt{- 12 + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Suma $- 12$ y $21$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Paso 1.1.3.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 - \sqrt{6 x + 21}}{x + 2} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{6 x + 21}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{6 x + 21}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - \sqrt{6 x + 21}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 x + 21}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 x + 21}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 x + 21}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{6 x + 21}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 x + 21}$ como ${(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 6 x + 21$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x + 21$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x + 21])}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 21])}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 21$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 21])}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 21$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [21]))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.5

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [21]))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [21]))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.7

Como $21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $21$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{- 1}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.13

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}} (6 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.14

Suma $6$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{{(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.16

Combina $\frac{{(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{{(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 6}{2}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.17

Mueve $6$ a la izquierda de ${(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{6 \cdot {(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.18

Mueve ${(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{6}{2 {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.19

Factoriza $2$ de $6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.4.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.20.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.4.20.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.5

Resta $\frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 1.3.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 2} - \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{6 x + 21}$ .

$lim_{x \to - 2} - \frac{3}{\sqrt{6 x + 21}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} - \frac{3}{\sqrt{6 x + 21}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to - 2} \frac{3}{\sqrt{6 x + 21}}$

Paso 2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 lim_{x \to - 2} \frac{1}{\sqrt{6 x + 21}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} \sqrt{6 x + 21}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to - 2} \sqrt{6 x + 21}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to - 2} 6 x + 21}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to - 2} 6 x + lim_{x \to - 2} 21}}$

Paso 2.7

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{6 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 21}}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $21$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{6 lim_{x \to - 2} x + 21}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{6 \cdot - 2 + 21}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{- 12 + 21}}$

Paso 4.1.2

Suma $- 12$ y $21$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 4.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- 3 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{1}{3}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{1}{3}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1$