Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Paso 1.3.9

Simplifica.

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Paso 1.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.9.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9.2.2

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} 2 x (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} 2 x (2 \sqrt{x})$

Paso 1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} 4 x \sqrt{x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to 1} x \sqrt{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$4 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Paso 2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$4 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$4 \cdot 1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 \cdot \sqrt{1}$

Paso 4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$