Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x)=3cos(x)^2-6sin(x)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.2.3
La derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.4
Multiplica por .
Paso 1.2.5
Multiplica por .
Paso 1.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.2.3
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.4
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.5
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.6
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.7
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.2.8
Suma y .
Paso 2.2.9
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.10
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.11
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.2.12
Suma y .
Paso 2.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.3
Multiplica por .
Paso 2.4
Simplifica.
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Paso 2.4.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.4.2
Multiplica por .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Factoriza .
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Paso 4.1
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Factoriza de .
Paso 4.1.2
Factoriza de .
Paso 4.1.3
Factoriza de .
Paso 4.2
Reescribe como .
Paso 5
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 6
Establece igual a y resuelve .
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Paso 6.1
Establece igual a .
Paso 6.2
Resuelve en .
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Paso 6.2.1
Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior del coseno.
Paso 6.2.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 6.2.2.1
El valor exacto de es .
Paso 6.2.3
La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el cuarto cuadrante.
Paso 6.2.4
Simplifica .
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Paso 6.2.4.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 6.2.4.2
Combina fracciones.
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Paso 6.2.4.2.1
Combina y .
Paso 6.2.4.2.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 6.2.4.3
Simplifica el numerador.
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Paso 6.2.4.3.1
Multiplica por .
Paso 6.2.4.3.2
Resta de .
Paso 6.2.5
La solución a la ecuación .
Paso 7
Establece igual a y resuelve .
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Paso 7.1
Establece igual a .
Paso 7.2
Resuelve en .
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Paso 7.2.1
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 7.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 7.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 7.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 7.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 7.2.2.2.2
Divide por .
Paso 7.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 7.2.2.3.1
Divide por .
Paso 7.2.3
Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior de seno.
Paso 7.2.4
Simplifica el lado derecho.
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Paso 7.2.4.1
El valor exacto de es .
Paso 7.2.5
La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a para obtener la solución en el tercer cuadrante.
Paso 7.2.6
Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.
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Paso 7.2.6.1
Resta de .
Paso 7.2.6.2
El ángulo resultante de es positivo, menor que y coterminal con .
Paso 7.2.7
La solución a la ecuación .
Paso 8
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 10
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 10.1
Simplifica cada término.
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Paso 10.1.1
El valor exacto de es .
Paso 10.1.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 10.1.3
Multiplica por .
Paso 10.1.4
El valor exacto de es .
Paso 10.1.5
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 10.1.6
Multiplica por .
Paso 10.1.7
El valor exacto de es .
Paso 10.1.8
Multiplica por .
Paso 10.2
Simplifica mediante la adición de números.
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Paso 10.2.1
Suma y .
Paso 10.2.2
Suma y .
Paso 11
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 12
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 12.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 12.2
Simplifica el resultado.
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Paso 12.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 12.2.1.1
El valor exacto de es .
Paso 12.2.1.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 12.2.1.3
Multiplica por .
Paso 12.2.1.4
El valor exacto de es .
Paso 12.2.1.5
Multiplica por .
Paso 12.2.2
Resta de .
Paso 12.2.3
La respuesta final es .
Paso 13
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 14
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 14.1
Simplifica cada término.
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Paso 14.1.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.
Paso 14.1.2
El valor exacto de es .
Paso 14.1.3
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 14.1.4
Multiplica por .
Paso 14.1.5
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.
Paso 14.1.6
El valor exacto de es .
Paso 14.1.7
Multiplica por .
Paso 14.1.8
Eleva a la potencia de .
Paso 14.1.9
Multiplica por .
Paso 14.1.10
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.
Paso 14.1.11
El valor exacto de es .
Paso 14.1.12
Multiplica .
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Paso 14.1.12.1
Multiplica por .
Paso 14.1.12.2
Multiplica por .
Paso 14.2
Simplifica mediante suma y resta.
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Paso 14.2.1
Suma y .
Paso 14.2.2
Resta de .
Paso 15
Como hay al menos un punto con o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.
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Paso 15.1
Divide en intervalos separados alrededor de los valores de que hacen que la primera derivada sea o indefinida.
Paso 15.2
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.1.1
Evalúa .
Paso 15.2.2.1.2
Multiplica por .
Paso 15.2.2.1.3
Evalúa .
Paso 15.2.2.1.4
Multiplica por .
Paso 15.2.2.1.5
Evalúa .
Paso 15.2.2.1.6
Multiplica por .
Paso 15.2.2.2
Suma y .
Paso 15.2.2.3
La respuesta final es .
Paso 15.3
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.3.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.3.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.3.2.1.1
El valor exacto de es .
Paso 15.3.2.1.2
Multiplica por .
Paso 15.3.2.1.3
El valor exacto de es .
Paso 15.3.2.1.4
Multiplica por .
Paso 15.3.2.1.5
El valor exacto de es .
Paso 15.3.2.1.6
Multiplica por .
Paso 15.3.2.2
Resta de .
Paso 15.3.2.3
La respuesta final es .
Paso 15.4
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.4.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.4.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.4.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.4.2.1.1
Evalúa .
Paso 15.4.2.1.2
Multiplica por .
Paso 15.4.2.1.3
Evalúa .
Paso 15.4.2.1.4
Multiplica por .
Paso 15.4.2.1.5
Evalúa .
Paso 15.4.2.1.6
Multiplica por .
Paso 15.4.2.2
Suma y .
Paso 15.4.2.3
La respuesta final es .
Paso 15.5
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.5.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.5.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.5.2.1.1
Evalúa .
Paso 15.5.2.1.2
Multiplica por .
Paso 15.5.2.1.3
Evalúa .
Paso 15.5.2.1.4
Multiplica por .
Paso 15.5.2.1.5
Evalúa .
Paso 15.5.2.1.6
Multiplica por .
Paso 15.5.2.2
Resta de .
Paso 15.5.2.3
La respuesta final es .
Paso 15.6
Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de , es un máximo local.
es un máximo local
Paso 15.7
Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de , es un mínimo local.
es un mínimo local
Paso 15.8
Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de , es un máximo local.
es un máximo local
Paso 15.9
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
es un máximo local
es un máximo local
es un mínimo local
es un máximo local
Paso 16