Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 4 \cos (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 5

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 5.2

Factoriza $2 \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

Paso 5.3

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Paso 7

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 7.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 7.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 7.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 7.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 7.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 8

Establece $1 + 2 \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $1 + 2 \sin (x)$ igual a $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $1 + 2 \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = - 1$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 8.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 8.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 8.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 8.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 8.2.7

La solución a la ecuación $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 11.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 11.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 + 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Paso 11.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 2 + 4 \cos (π)$

Paso 11.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 2 + 4 (- \cos (0))$

Paso 11.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Paso 11.1.6

Multiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 11.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 + 4 \cdot - 1$

Paso 11.1.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 2 - 4$

Paso 11.2

Resta $4$ de $- 2$ .

$- 6$

Paso 12

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (π)$

Paso 13.2.1.4

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (0)$

Paso 13.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - (- 1 \cdot 1)$

Paso 13.2.1.6

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 13.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Paso 13.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Paso 13.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Paso 13.2.3

La respuesta final es $3$ .

$y = 3$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 15.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 15.1.3

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 15.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 15.1.3.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 15.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 + 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Paso 15.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 + 4 \cos (3 π)$

Paso 15.1.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 + 4 \cos (π)$

Paso 15.1.6

$2 + 4 (- \cos (0))$

Paso 15.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Paso 15.1.8

Multiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 15.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 + 4 \cdot - 1$

Paso 15.1.8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 - 4$

Paso 15.2

Resta $4$ de $2$ .

$- 2$

Paso 16

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

Paso 17

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 17.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 17.2

Simplifica el resultado.

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Paso 17.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 17.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 17.2.1.3

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 17.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 17.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 17.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Paso 17.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (3 π)$

Paso 17.2.1.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (π)$

Paso 17.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (0)$

Paso 17.2.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - (- 1 \cdot 1)$

Paso 17.2.1.8

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 17.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Paso 17.2.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Paso 17.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Paso 17.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (- \frac{π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19.1.2

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19.1.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19.1.4.4

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 19.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{6})$

Paso 19.1.6.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 (3)})$

Paso 19.1.6.3

Cancela el factor común.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

Paso 19.1.6.4

Reescribe la expresión.

$1 + 4 \cos (\frac{- π}{3})$

Paso 19.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + 4 \cos (- \frac{π}{3})$

Paso 19.1.8

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 19.1.9

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Paso 19.1.10

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Paso 19.1.11

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1.11.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Paso 19.1.11.2

Cancela el factor común.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Paso 19.1.11.3

Reescribe la expresión.

$1 + 2$

Paso 19.2

Suma $1$ y $2$ .

$3$

Paso 20

$x = - \frac{π}{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{π}{6}$ es un mínimo local

Paso 21

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 21.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 21.2.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 21.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 21.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 21.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Paso 21.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{6}))$

Paso 21.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

Paso 21.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

Paso 21.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{- π}{3})$

Paso 21.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (- \frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.7

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 21.2.1.8

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.9

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Paso 21.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 21.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 21.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 21.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Paso 21.2.5.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 21.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Paso 21.2.7

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{7 π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{7 π}{6}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 23

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.1

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 23.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 23.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 23.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 23.1.3.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 23.1.3.4

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 23.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 23.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

Paso 23.1.5.2

Cancela el factor común.

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

Paso 23.1.5.3

Reescribe la expresión.

$1 + 4 \cos (\frac{7 π}{3})$

Paso 23.1.6

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Paso 23.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Paso 23.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.8.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Paso 23.1.8.2

Cancela el factor común.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Paso 23.1.8.3

Reescribe la expresión.

$1 + 2$

Paso 23.2

Suma $1$ y $2$ .

$3$

Paso 24

$x = \frac{7 π}{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{7 π}{6}$ es un mínimo local

Paso 25

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{7 π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 25.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 25.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 25.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 25.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 25.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 25.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Paso 25.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

Paso 25.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

Paso 25.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

Paso 25.2.1.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 25.2.1.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Paso 25.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 25.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 25.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 25.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Paso 25.2.5.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 25.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Paso 25.2.7

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 26

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ es un máximo local

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ es un máximo local

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ es un mínimo local

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ es un mínimo local

Paso 27