Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x - \frac{256}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{256}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 256$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{256}{x}$ con respecto a $x$ es $- 256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 - 256 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 - 256 (- x^{- 2})$

Paso 1.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 256$ .

$2 + 256 x^{- 2}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 256 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Combina $256$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{256}{x^{2}}$

Paso 1.4.3

Reordena los términos.

$\frac{256}{x^{2}} + 2$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{256}{x^{2}} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{256}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{256}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{256}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $256$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{256}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 256 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 256 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 256 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 256 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 256 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 256 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.10

Multiplica $- 2$ por $256$ .

$f'' (x) = - 512 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 512 x^{- 3} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 512 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 512$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 512}{x^{3}} + 0$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{512}{x^{3}} + 0$

Paso 2.4.2.3

Suma $- \frac{512}{x^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{512}{x^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{256}{x^{2}} + 2 = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6