Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{6}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 1.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 1.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$4 x + 12 x^{- 3}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.4.2

Combina $12$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{12}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 2.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 3$ por $12$ .

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina los términos.

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Paso 2.5.1.1

Combina $- 36$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

Paso 2.5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6