Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 0$

Paso 1.4.2

Suma $6 x^{2} - 8 x$ y $0$ .

$6 x^{2} - 8 x$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$6 x^{2} - 8 x = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $6 x^{2} - 8 x$ y $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} - 8 x$ .

$6 x^{2} - 8 x$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} - 8 x = 0$

Paso 5.2

Factoriza $2 x$ de $6 x^{2} - 8 x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 x$ de $6 x^{2}$ .

$2 x (3 x) - 8 x = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 x$ de $- 8 x$ .

$2 x (3 x) + 2 x (- 4) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (3 x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (3 x - 4) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 4 = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $3 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (3 x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 (0) - 8$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 - 8$

Paso 9.2

Resta $8$ de $0$ .

$- 8$

Paso 10

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 2$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

Paso 11.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 11.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Paso 11.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = 2$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{4}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 (\frac{4}{3}) - 8$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.1.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$3 (4) \frac{4}{3} - 8$

Paso 13.1.1.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 4 \frac{4}{3} - 8$

Paso 13.1.1.3

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 4 - 8$

Paso 13.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 - 8$

Paso 13.2

Resta $8$ de $16$ .

$8$

Paso 14

$x = \frac{4}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{4}{3}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{4}{3}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{4}{3}) = 2 {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Paso 15.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Paso 15.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{27}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Paso 15.2.1.4

Multiplica $2 (\frac{64}{27})$ .

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Paso 15.2.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{64}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 64}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Paso 15.2.1.4.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Paso 15.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 2$

Paso 15.2.1.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} + 2$

Paso 15.2.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 (\frac{16}{9}) + 2$

Paso 15.2.1.8

Multiplica $- 4 (\frac{16}{9})$ .

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Paso 15.2.1.8.1

Combina $- 4$ y $\frac{16}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} + 2$

Paso 15.2.1.8.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 64}{9} + 2$

Paso 15.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64}{9} + 2$

Paso 15.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 15.2.2.1

Multiplica $\frac{64}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 2$

Paso 15.2.2.2

Multiplica $\frac{64}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 2$

Paso 15.2.2.3

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1}$

Paso 15.2.2.4

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 15.2.2.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Paso 15.2.2.6

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Paso 15.2.2.7

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Paso 15.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 64 \cdot 3 + 2 \cdot 27}{27}$

Paso 15.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.4.1

Multiplica $- 64$ por $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 2 \cdot 27}{27}$

Paso 15.2.4.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 54}{27}$

Paso 15.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.5.1

Resta $192$ de $128$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 64 + 54}{27}$

Paso 15.2.5.2

Suma $- 64$ y $54$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Paso 15.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{10}{27}$

Paso 15.2.6

La respuesta final es $- \frac{10}{27}$ .

$y = - \frac{10}{27}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ .

$(0, 2)$ es un máximo local

$(\frac{4}{3}, - \frac{10}{27})$ es un mínimo local

Paso 17