Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.3.9

Combina $- 9$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.11

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 1.3.12.2

Cancela el factor común.

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$3 + \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Paso 2.2.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Paso 2.2.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.13.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Paso 2.2.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Paso 2.2.14

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 2.2.15

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = 0 + 3 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 2.2.16

Combina $3$ y $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.17

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{6}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.18

Factoriza $3$ de $6$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.19.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 2.2.19.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.19.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 4.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 4.1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 - 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.1.3.9

Combina $- 9$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.11

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 4.1.3.12.2

Cancela el factor común.

$3 + \frac{3 \cdot - 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$3 + \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ por $x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ al numerador.

$\frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 3 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 3$ .

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 3$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 3$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 3}{- 3}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Paso 5.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 5.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm 1$

Paso 5.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 5.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 5.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$3 - \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.3.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, - 1, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{1}$

Paso 9.2

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 (1) - 9 {(1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 9 {(1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 - 9 \cdot 1$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 9$

Paso 11.2.2

Resta $9$ de $3$ .

$f (1) = - 6$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 13.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 13.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{{(- 1)}^{5}}$

Paso 13.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$\frac{2}{- 1}$

Paso 13.2

Divide $2$ por $- 1$ .

$- 2$

Paso 14

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 3 (- 1) - 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 15.2.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 3 - 9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 15.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 3 - 9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 15.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 1) = - 3 - 9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 15.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 1) = - 3 - 9 \cdot - 1$

Paso 15.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (- 1) = - 3 - 9 \cdot - 1$

Paso 15.2.1.6

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 9$

Paso 15.2.2

Suma $- 3$ y $9$ .

$f (- 1) = 6$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $6$ .

$y = 6$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica la expresión.

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Paso 17.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{2}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 17.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 17.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 17.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 17.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{0^{5}}$

Paso 17.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{0}$

Paso 17.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 18

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 18.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 18.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la primera derivada $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 3 - \frac{3}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2

La respuesta final es $3 - \frac{3}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{3}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.3

Sustituye cualquier número, como $- 0.5$ , del intervalo $(- 1, 0)$ en la primera derivada $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5$ en la expresión.

$f' (- 0.5) = 3 - \frac{3}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.3.2

La respuesta final es $3 - \frac{3}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{3}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.4

Sustituye cualquier número, como $0.5$ , del intervalo $(0, 1)$ en la primera derivada $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f' (0.5) = 3 - \frac{3}{{(0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.4.2.1.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.5) = 3 - \frac{3}{0.62996052}$

Paso 18.4.2.1.2

Divide $3$ por $0.62996052$ .

$f' (0.5) = 3 - 1 \cdot 4.76220315$

Paso 18.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4.76220315$ .

$f' (0.5) = 3 - 4.76220315$

Paso 18.4.2.2

Resta $4.76220315$ de $3$ .

$f' (0.5) = - 1.76220315$

Paso 18.4.2.3

La respuesta final es $- 1.76220315$ .

$- 1.76220315$

Paso 18.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $3 - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 3 - \frac{3}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (4) = 3 - \frac{3}{4^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.5.2.2

La respuesta final es $3 - \frac{3}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{3}{4^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = - 1$ , $x = - 1$ es un máximo local.

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 18.7

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 18.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 1$ , $x = 1$ es un mínimo local.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 18.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = 3 x - 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - 1$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

$x = - 1$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 19