Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{3}{5}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.6.2

Resta $5$ de $3$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.8

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$4 \frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.9

Combina $4$ y $\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 (3 x^{- \frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.10

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.11

Mueve $x^{- \frac{2}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $5$ de $4$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Paso 1.3.9

Mueve $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{12}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{12}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ como ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{2}{5} \cdot - 2} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{- 4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.9.2

Resta $5$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ y $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{3}{5}} x^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{3}{5}}$ por $x^{- \frac{4}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Mueve $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{3}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{5} - \frac{3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.13.4

Resta $3$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 7}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{7}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.14

Mueve $x^{- \frac{7}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.15

Multiplica $\frac{12}{5}$ por $\frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cdot 2}{5 (5 x^{\frac{7}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.16

Multiplica $12$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{5 (5 x^{\frac{7}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.17

Multiplica $5$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ como ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $5$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ y $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{4}{5}}$ por $x^{- \frac{2}{5}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.3

Resta $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{6}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + 1 (\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Paso 2.3.16

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Paso 2.3.17

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Paso 2.3.18

Multiplica $5$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{3}{5}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $5$ de $3$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.8

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.9

Combina $4$ y $\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$f' (x) = \frac{4 (3 x^{- \frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{12 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{2}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Paso 4.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 4.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 4.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Paso 4.1.3.6.2

Resta $5$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Paso 4.1.3.9

Mueve $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Paso 5.2.2

Since $5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{5}}, x^{\frac{1}{5}}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

Como $5$ no tiene factores además de $1$ y $5$ .

$5$ es un número primo

Paso 5.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.6

El MCM de $5, 5, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$5$

Paso 5.2.7

El MCM de $x^{\frac{2}{5}}, x^{\frac{1}{5}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{2}{5}}$

Paso 5.2.8

El MCM para $5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ es la parte numérica $5$ multiplicada por la parte variable.

$5 x^{\frac{2}{5}}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ por $5 x^{\frac{2}{5}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ por $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 5.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$12 - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.4

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ al numerador.

$12 + \frac{- 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.4.2

Factoriza $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (1)} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.4.3

Factoriza $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ de $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (1)} (x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (x^{\frac{1}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.4.4

Cancela el factor común.

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 \cdot 1} (x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.2.1.4.5

Reescribe la expresión.

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0 (5 x^{\frac{2}{5}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0 x^{\frac{2}{5}}$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{\frac{1}{5}} = - 12$

Paso 5.4.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- 4 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Paso 5.4.3

Simplifica el exponente.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1

Simplifica ${(- 4 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- 4 x^{\frac{1}{5}}$ .

${(- 4)}^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $5$ .

$- 1024 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Paso 5.4.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1024 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 12)}^{5}$

Paso 5.4.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$- 1024 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 12)}^{5}$

Paso 5.4.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- 1024 x^{1} = {(- 12)}^{5}$

Paso 5.4.3.1.1.4

Simplifica.

$- 1024 x = {(- 12)}^{5}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $5$ .

$- 1024 x = - 248832$

Paso 5.4.4

Divide cada término en $- 1024 x = - 248832$ por $- 1024$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.1

Divide cada término en $- 1024 x = - 248832$ por $- 1024$ .

$\frac{- 1024 x}{- 1024} = \frac{- 248832}{- 1024}$

Paso 5.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 1024$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1024 x}{- 1024} = \frac{- 248832}{- 1024}$

Paso 5.4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 248832}{- 1024}$

Paso 5.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.3.1

Divide $- 248832$ por $- 1024$ .

$x = 243$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 \sqrt[5]{x^{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${(5 \sqrt[5]{x^{2}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$3125 {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$3125 x^{2} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3125 x^{2} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $3125 x^{2} = 0$ por $3125$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.1

Divide cada término en $3125 x^{2} = 0$ por $3125$ .

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 6.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $3125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 6.3.3.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3125}$

Paso 6.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $3125$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.3.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.3.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.4

Establece el denominador en $\frac{4}{5 \sqrt[5]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

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Paso 6.5.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.5.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.1

Simplifica ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.5.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.5.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.5.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 6.5.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.5.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 6.5.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Paso 6.5.2.2.1.4

Simplifica.

$3125 x = 0^{5}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3125 x = 0$

Paso 6.5.3

Divide cada término en $3125 x = 0$ por $3125$ y simplifica.

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Paso 6.5.3.1

Divide cada término en $3125 x = 0$ por $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 6.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.3.2.1

Cancela el factor común de $3125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 6.5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Paso 6.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.3.1

Divide $0$ por $3125$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 243, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 243$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4}{25 {(243)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Reescribe $243$ como $3^{5}$ .

$\frac{4}{25 \cdot {(3^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 9.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25 \cdot 3^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 9.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{25 \cdot 3^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 9.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{25 \cdot 3^{6}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 9.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$\frac{4}{25 \cdot 729} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 9.1.2

Multiplica $25$ por $729$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 9.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.3.1

Reescribe $243$ como $3^{5}$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot {(3^{5})}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 9.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{5 (\frac{7}{5})}}$

Paso 9.1.3.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{5 (\frac{7}{5})}}$

Paso 9.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{7}}$

Paso 9.1.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 2187}$

Paso 9.1.4

Multiplica $25$ por $2187$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{54675}$

Paso 9.1.5

Cancela el factor común de $24$ y $54675$ .

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Paso 9.1.5.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{3 (8)}{54675}$

Paso 9.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $54675$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 18225}$

Paso 9.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{18225} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 18225}$

Paso 9.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{18225} - \frac{8}{18225}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 8}{18225}$

Paso 9.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{- 4}{18225}$

Paso 9.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{18225}$

Paso 10

$x = 243$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 243$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 243$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $243$ en la expresión.

$f (243) = 4 {(243)}^{\frac{3}{5}} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Reescribe $243$ como $3^{5}$ .

$f (243) = 4 {(3^{5})}^{\frac{3}{5}} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (243) = 4 \cdot 3^{5 (\frac{3}{5})} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (243) = 4 \cdot 3^{5 (\frac{3}{5})} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (243) = 4 \cdot 3^{3} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (243) = 4 \cdot 27 - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $4$ por $27$ .

$f (243) = 108 - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2.1.6

Reescribe $243$ como $3^{5}$ .

$f (243) = 108 - {(3^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2.1.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (243) = 108 - 3^{5 (\frac{4}{5})}$

Paso 11.2.1.8

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.2.1.8.1

Cancela el factor común.

$f (243) = 108 - 3^{5 (\frac{4}{5})}$

Paso 11.2.1.8.2

Reescribe la expresión.

$f (243) = 108 - 3^{4}$

Paso 11.2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (243) = 108 - 1 \cdot 81$

Paso 11.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$f (243) = 108 - 81$

Paso 11.2.2

Resta $81$ de $108$ .

$f (243) = 27$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $27$ .

$y = 27$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$\frac{4}{25 {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{25 \cdot 0^{6}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4}{25 \cdot 0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 13.3.2

Multiplica $25$ por $0$ .

$\frac{4}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{4}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 243) \cup (243, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1

Para escribir $- \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.2.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 14.2.2.2.1

Multiplica $\frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ por $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}} {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.2.2.2.2

Multiplica ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ por ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.2.2.2.2.1

Mueve ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 ({(- 2)}^{\frac{1}{5}} {(- 2)}^{\frac{1}{5}})}$

Paso 14.2.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Paso 14.2.2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Paso 14.2.2.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.2.2.4

La respuesta final es $\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, 243)$ en la primera derivada $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{12}{5 {(2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(2)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.3.2.2

Para escribir $- \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.3.1

Multiplica $\frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ por $\frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.3.2.3.2

Multiplica $2^{\frac{1}{5}}$ por $2^{\frac{1}{5}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.3.2.1

Mueve $2^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot (2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}})}$

Paso 14.3.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Paso 14.3.2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Paso 14.3.2.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{12 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.5

Multiplica $- 4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.5.1

Factoriza el negativo.

$f' (2) = \frac{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{5}})}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{12 - (2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{5}})}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.5.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.5.5

Combina $2$ y $\frac{5}{5}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 5 + 1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.5.7

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.2.5.7.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{10 + 1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.5.7.2

Suma $10$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.3.2.6

La respuesta final es $\frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $246$ , del intervalo $(243, \infty)$ en la primera derivada $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $246$ en la expresión.

$f' (246) = \frac{12}{5 {(246)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(246)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.2

Para escribir $- \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.3.1

Multiplica $\frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$ por $\frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}} \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.3.2

Multiplica $246^{\frac{1}{5}}$ por $246^{\frac{1}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.4.2.3.2.1

Mueve $246^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot (246^{\frac{1}{5}} \cdot 246^{\frac{1}{5}})}$

Paso 14.4.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Paso 14.4.2.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (246) = \frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.4.2.5

La respuesta final es $\frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Paso 14.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 243$ , $x = 243$ es un máximo local.

$x = 243$ es un máximo local

Paso 15