Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 - x^{4} y^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{4} y^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Paso 1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4} y^{4}$ con respecto a $x$ es $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Paso 1.3

Resta $4 y^{4} x^{3}$ de $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 4 y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y^{4} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} \frac{d}{d x} x^{3}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} (3 x^{2})$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 y^{4} x^{2}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{4} y^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Paso 4.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4} y^{4}$ con respecto a $x$ es $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Paso 4.1.3

Resta $4 y^{4} x^{3}$ de $0$ .

$f' (x) = - 4 y^{4} x^{3}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ por $- 4 y^{4}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ por $- 4 y^{4}$ .

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $- 4$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$x^{3} = \frac{4 (0)}{- 4 y^{4}}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 y^{4}$ .

$x^{3} = \frac{4 (0)}{4 (- y^{4})}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} = \frac{4 \cdot 0}{4 (- y^{4})}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} = \frac{0}{- y^{4}}$

Paso 5.2.3.2

Divide $0$ por $- y^{4}$ .

$x^{3} = 0$

Paso 5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.4

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 5.4.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 y^{4} {(0)}^{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 12 y^{4} \cdot 0$

Paso 9.2

Multiplica $- 12 y^{4} \cdot 0$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica $0$ por $- 12$ .

$0 y^{4}$

Paso 9.2.2

Multiplica $0$ por $y^{4}$ .

$0$

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11