Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Paso 1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.10

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $\frac{2}{x^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 - x^{- 2}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.1.5

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Paso 5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $- 4 x^{2} = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $- 4 x^{2} = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 5.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 5.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 5.5.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.5.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 5.5.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.5.4.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Paso 5.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 5.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 5.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(\frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Paso 9.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{\frac{1}{2^{3}}}$

Paso 9.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{\frac{1}{8}}$

Paso 9.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 \cdot 8$

Paso 9.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$16$

Paso 10

$x = \frac{1}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (2) (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 11.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 11.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = 2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{2}) = 2 + 1 \cdot 2$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 + 2$

Paso 11.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $4$ .

$y = 4$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{1}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 13.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{- {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 13.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Paso 13.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{- \frac{1}{2^{3}}}$

Paso 13.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{- \frac{1}{8}}$

Paso 13.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 (- 1 \cdot 8)$

Paso 13.3

Multiplica $2 (- 1 \cdot 8)$ .

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$2 \cdot - 8$

Paso 13.3.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$- 16$

Paso 14

$x = - \frac{1}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{1}{2}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.1.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 15.2.1.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 + \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 15.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - (1 \cdot 2)$

Paso 15.2.1.5

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 15.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - 1 \cdot 2$

Paso 15.2.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - 2$

Paso 15.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 4$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{2}, 4)$ es un mínimo local

$(- \frac{1}{2}, - 4)$ es un máximo local

Paso 17