Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.4.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Paso 1.5.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$7 \ln (x) + 7$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 \ln (x) + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.2.3

Combina $7$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{7}{x}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.4.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Paso 4.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Paso 4.1.5.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Paso 4.1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 7 \ln (x) + 7$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $7 \ln (x) + 7$ .

$7 \ln (x) + 7$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $7 \ln (x) + 7 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Paso 5.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$7 \ln (x) = - 7$

Paso 5.3

Divide cada término en $7 \ln (x) = - 7$ por $7$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $7 \ln (x) = - 7$ por $7$ .

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7}{7}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Divide $- 7$ por $7$ .

$\ln (x) = - 1$

Paso 5.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (x) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Paso 5.6

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Paso 5.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{e}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{e}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{7}{\frac{1}{e}}$

Paso 9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$7 e$

Paso 10

$x = \frac{1}{e}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{e}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{e}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e}) = 7 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Combina $7$ y $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Paso 11.2.2

Reescribe $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Paso 11.2.3

Reescribe $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Paso 11.2.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Paso 11.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Paso 11.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Paso 11.2.7

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (0 - 1)$

Paso 11.2.8

Resta $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot - 1$

Paso 11.2.9

Multiplica $\frac{7}{e} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.9.1

Combina $\frac{7}{e}$ y $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7 \cdot - 1}{e}$

Paso 11.2.9.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 7}{e}$

Paso 11.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{7}{e}$

Paso 11.2.11

La respuesta final es $- \frac{7}{e}$ .

$y = - \frac{7}{e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 7 x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{7}{e})$ es un mínimo local

Paso 13