Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x \sqrt{3 - x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 - x}$ como ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 - x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8.3

Mueve ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.14

Combina fracciones.

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Paso 1.14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.14.2

Combina $\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$7 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.14.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$7 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.14.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$7 (\frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 1.16

Multiplica ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.17

Para escribir ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.18

Combina ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20

Multiplica ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.20.1

Mueve ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20.5

Divide $2$ por $2$ .

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21

Simplifica la expresión.

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Paso 1.21.1

Simplifica ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$7 \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21.2

Mueve $2$ a la izquierda de $3 - x$ .

$7 \frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22

Combina $7$ y $\frac{- x + 2 (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7 (- x + 2 (3 - x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23

Simplifica.

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Paso 1.23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (- x) + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.23.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.23.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{- 7 x + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.3.1.2

Multiplica $7 (2 \cdot 3)$ .

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Paso 1.23.3.1.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- 7 x + 7 \cdot 6 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.3.1.2.2

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{- 7 x + 42 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 7 x + 42 + 7 (- 2 x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$\frac{- 7 x + 42 - 14 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.3.2

Resta $14 x$ de $- 7 x$ .

$\frac{- 21 x + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.4

Factoriza $21$ de $- 21 x + 42$ .

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Paso 1.23.4.1

Factoriza $21$ de $- 21 x$ .

$\frac{21 (- x) + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.4.2

Factoriza $21$ de $42$ .

$\frac{21 (- x) + 21 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.4.3

Factoriza $21$ de $21 (- x) + 21 (2)$ .

$\frac{21 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{21 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.6

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{21 (- (x) - 1 (- 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{21 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.8

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{21 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- \frac{21}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{21}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Paso 2.4

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Paso 2.5.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Paso 2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 - x$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.11.3

Mueve ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Paso 2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Paso 2.13

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Paso 2.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{3 - x}$

Paso 2.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{3 - x}$

Paso 2.16

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Paso 2.16.2

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Paso 2.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{3 - x}$

Paso 2.18

Combina fracciones.

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Paso 2.18.1

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{3 - x}$

Paso 2.18.2

Multiplica $\frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 - x}$ por $\frac{21}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot 21}{(3 - x) \cdot 2}$

Paso 2.18.3

Reordena.

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Paso 2.18.3.1

Mueve $21$ a la izquierda de ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 \cdot ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{(3 - x) \cdot 2}$

Paso 2.18.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot (3 - x)}$

Paso 2.19

Simplifica.

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Paso 2.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (3 - x)}$

Paso 2.19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.19.3.1

Factoriza $21$ de $21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 2.19.3.1.1

Factoriza $21$ de $21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.1.2

Factoriza $21$ de $21 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.1.3

Factoriza $21$ de $21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 ((x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.2

Sea $u_{2} = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.19.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 u_{2} u_{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.19.3.2.2.1

Mueve $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.2.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4

Simplifica.

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Paso 2.19.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.19.3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.19.3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.19.3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4.1.2

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 \cdot 3 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{6 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{6 - 2 x + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4.2

Resta $2$ de $6$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{- 2 x + x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.4.3

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.4

Combina los términos.

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Paso 2.19.4.1

Combina $21$ y $\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$

Paso 2.19.4.4

Reescribe $\frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 - 2 x})$

Paso 2.19.4.5

Multiplica $\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{6 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (6 - 2 x)}$

Paso 2.19.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.19.5.1

Factoriza $2$ de $6 - 2 x$ .

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Paso 2.19.5.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) - 2 x)}$

Paso 2.19.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) + 2 (- x))}$

Paso 2.19.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (3 - x))}$

Paso 2.19.5.2

Combina exponentes.

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Paso 2.19.5.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 - x)}$

Paso 2.19.5.2.2

Eleva $3 - x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 ((3 - x) {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.19.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.19.5.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.19.5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 2.19.5.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x) + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.7

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x) - 1 \cdot - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.9

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- 1 (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.19.12

Multiplica $\frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 - x}$ como ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.2

$f' (x) = 7 (x \frac{d}{d x} ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 - x$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.8

Combina fracciones.

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Paso 4.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.8.3

Mueve ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.14

Combina fracciones.

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Paso 4.1.14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.14.2

Combina $\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.14.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.14.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 4.1.16

Multiplica ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.17

Para escribir ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.18

Combina ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.20

Multiplica ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.20.1

Mueve ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.20.5

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.21

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.21.1

Simplifica ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.21.2

Mueve $2$ a la izquierda de $3 - x$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.22

Combina $7$ y $\frac{- x + 2 (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{7 (- x + 2 (3 - x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23

Simplifica.

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Paso 4.1.23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{7 (- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{7 (- x) + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.23.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.23.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.3.1.2

Multiplica $7 (2 \cdot 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.23.3.1.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 7 \cdot 6 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.3.1.2.2

Multiplica $7$ por $6$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 + 7 (- 2 x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 - 14 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.3.2

Resta $14 x$ de $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{- 21 x + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.4

Factoriza $21$ de $- 21 x + 42$ .

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Paso 4.1.23.4.1

Factoriza $21$ de $- 21 x$ .

$f' (x) = \frac{21 (- x) + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.4.2

Factoriza $21$ de $42$ .

$f' (x) = \frac{21 (- x) + 21 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.4.3

Factoriza $21$ de $21 (- x) + 21 (2)$ .

$f' (x) = \frac{21 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{21 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.6

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{21 (- (x) - 1 \cdot - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{21 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.8

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{21 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$21 (x - 2) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $21 (x - 2) = 0$ por $21$ y simplifica.

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Paso 5.3.1.1

Divide cada término en $21 (x - 2) = 0$ por $21$ .

$\frac{21 (x - 2)}{21} = \frac{0}{21}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Cancela el factor común de $21$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{21 (x - 2)}{21} = \frac{0}{21}$

Paso 5.3.1.2.1.2

Divide $x - 2$ por $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{21}$

Paso 5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.3.1

Divide $0$ por $21$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{{(3 - x)}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{3 - x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{3 - x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{3 - x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{3 - x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 - x}$ como ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (3 - x) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 3 + 4 (- x) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.3.2.2.1.6.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 + 4 (- x) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$12 - 4 x = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 - 4 x = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 12$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $- 4 x = - 12$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - 12$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 4}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Divide $- 12$ por $- 4$ .

$x = 3$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{3 - x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 - x < 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

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Paso 6.5.1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < - 3$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $- x < - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Divide cada término de $- x < - 3$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x > 3$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \geq 3$

$[3, \infty)$

$x \geq 3$

$[3, \infty)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 2, 3$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{21 ((2) - 4)}{4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Factoriza $2$ de $21 ((2) - 4)$ .

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.1

Factoriza $2$ de $4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{2 (2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{2 (2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{21 (1 - 2)}{2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{21 \cdot - 1}{2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.4

Simplifica el denominador.

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Paso 9.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{21 \cdot - 1}{2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.4.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{21 \cdot - 1}{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{21 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5

Simplifica la expresión.

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Paso 9.5.1

Multiplica $21$ por $- 1$ .

$\frac{- 21}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 21}{2}$

Paso 9.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{21}{2}$

Paso 10

$x = 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 2$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 7 (2) \sqrt{3 - (2)}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (2) = 14 \sqrt{3 - (2)}$

Paso 11.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 14 \sqrt{3 - 2}$

Paso 11.2.3

Resta $2$ de $3$ .

$f (2) = 14 \sqrt{1}$

Paso 11.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (2) = 14 \cdot 1$

Paso 11.2.5

Multiplica $14$ por $1$ .

$f (2) = 14$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $14$ .

$y = 14$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 {(3 - (3))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 {(3 - 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{3}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0}$

Paso 13.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{0}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{21 ((3) - 4)}{0}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 15