Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{\frac{6}{7}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

$6 + 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{6}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $7$ de $6$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}})$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}})$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{6}{7}$ y $x^{- \frac{1}{7}}$ .

$6 + 7 \frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Paso 1.3.9

Combina $7$ y $\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$ .

$6 + \frac{7 (6 x^{- \frac{1}{7}})}{7}$

Paso 1.3.10

Multiplica $6$ por $7$ .

$6 + \frac{42 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Paso 1.3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 + \frac{42}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 1.3.12

Factoriza $7$ de $42$ .

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 1.3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.13.1

Factoriza $7$ de $7 x^{\frac{1}{7}}$ .

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 (x^{\frac{1}{7}})}$

Paso 1.3.13.2

Cancela el factor común.

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 1.3.13.3

Reescribe la expresión.

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 2.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ como ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{7}}))$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{7}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- {(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{7}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- {(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{\frac{1}{7} \cdot - 2} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Paso 2.2.5.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{\frac{- 2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Paso 2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}))$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}))$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}}))$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}}))$

Paso 2.2.9.2

Resta $7$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}}))$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}}))$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{1}{7}$ y $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7})$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$ y $x^{- \frac{2}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{6}{7}} x^{- \frac{2}{7}}}{7})$

Paso 2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{6}{7}}$ por $x^{- \frac{2}{7}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{6}{7} - \frac{2}{7}}}{7})$

Paso 2.2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{\frac{- 6 - 2}{7}}}{7})$

Paso 2.2.13.3

Resta $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{\frac{- 8}{7}}}{7})$

Paso 2.2.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{8}{7}}}{7})$

Paso 2.2.14

Mueve $x^{- \frac{8}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}})$

Paso 2.2.15

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = 0 - 6 \frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Paso 2.2.16

Combina $- 6$ y $\frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Paso 2.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - \frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Paso 2.3

Resta $\frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{\frac{6}{7}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

$f' (x) = 6 + 7 \frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}})$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{6}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1})$

Paso 4.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 4.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 4.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}})$

Paso 4.1.3.6.2

Resta $7$ de $6$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}})$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}})$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{6}{7}$ y $x^{- \frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7})$

Paso 4.1.3.9

Combina $7$ y $\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 (6 x^{- \frac{1}{7}})}{7}$

Paso 4.1.3.10

Multiplica $6$ por $7$ .

$f' (x) = 6 + \frac{42 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Paso 4.1.3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{42}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 4.1.3.12

Factoriza $7$ de $42$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 4.1.3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.13.1

Factoriza $7$ de $7 x^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 (x^{\frac{1}{7}})}$

Paso 4.1.3.13.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 4.1.3.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$

Paso 5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{1}{7}}, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$ por $x^{\frac{1}{7}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$ por $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} x^{\frac{1}{7}} = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} x^{\frac{1}{7}} = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$6 = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ .

$- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{7}}}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{7}}}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{7}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{7}} = \frac{6}{- 6}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

Divide $6$ por $- 6$ .

$x^{\frac{1}{7}} = - 1$

Paso 5.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $7$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 1)}^{7}$

Paso 5.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 5.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 1)}^{7}$

Paso 5.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 1)}^{7}$

Paso 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 1)}^{7}$

Paso 5.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 1)}^{7}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.4.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$x = - 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$6 + \frac{6}{\sqrt[7]{x^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$6 + \frac{6}{\sqrt[7]{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{6}{\sqrt[7]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[7]{x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $7$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[7]{x}}^{7} = 0^{7}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{7}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{7}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{\frac{8}{7}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{7}$ .

$- \frac{6}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{8}{7}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{8}{7})}}$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 9.1.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{8}{7})}}$

Paso 9.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{8}}$

Paso 9.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $8$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 1}$

Paso 9.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$- \frac{6}{7}$

Paso 10

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 6 (- 1) + 7 {(- 1)}^{\frac{6}{7}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{\frac{6}{7}}$

Paso 11.2.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{7}$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{6}{7}}$

Paso 11.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{7 (\frac{6}{7})}$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{7 (\frac{6}{7})}$

Paso 11.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{6}$

Paso 11.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 \cdot 1$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $7$ por $1$ .

$f (- 1) = - 6 + 7$

Paso 11.2.2

Suma $- 6$ y $7$ .

$f (- 1) = 1$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{6}{7 {(0)}^{\frac{8}{7}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Reescribe $0$ como $0^{7}$ .

$- \frac{6}{7 {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{8}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 0}$

Paso 13.3.2

Multiplica $7$ por $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{6}{0}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la primera derivada $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Paso 14.2.2

La respuesta final es $6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $- 0.5$ , del intervalo $(- 1, 0)$ en la primera derivada $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5$ en la expresión.

$f' (- 0.5) = 6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$

Paso 14.3.2

La respuesta final es $6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 6 + \frac{6}{{(2)}^{\frac{1}{7}}}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (2) = 6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$

Paso 14.4.2.2

La respuesta final es $6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$

Paso 14.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = - 1$ , $x = - 1$ es un máximo local.

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 14.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = 6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ .

$x = - 1$ es un máximo local

$x = 0$ es un mínimo local

$x = - 1$ es un máximo local

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 15