Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{5}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.4.3

Multiplica $3$ por $- 10$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x^{2}$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 (2 x)$

Paso 1.5.3

Multiplica $2$ por $30$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x^{4}$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $30$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 60 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 60 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 60$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 30 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 30$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Paso 2.5.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60 \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $60$ por $1$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{5}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $5$ por $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $3$ por $- 10$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Paso 4.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.5.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x^{2}$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 (2 x)$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $2$ por $30$ .

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $30 x$ de $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $30 x$ de $30 x^{4}$ .

$30 x (x^{3}) - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $30 x$ de $- 60 x^{3}$ .

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) - 30 x^{2} + 60 x = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $30 x$ de $- 30 x^{2}$ .

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 60 x = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $30 x$ de $60 x$ .

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 30 x (2) = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $30 x$ de $30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2})$ .

$30 x (x^{3} - 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 30 x (2) = 0$

Paso 5.2.1.6

Factoriza $30 x$ de $30 x (x^{3} - 2 x^{2}) + 30 x (- x)$ .

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x) + 30 x (2) = 0$

Paso 5.2.1.7

Factoriza $30 x$ de $30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x) + 30 x (2)$ .

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$30 x ((x^{3} - 2 x^{2}) - x + 2) = 0$

Paso 5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$30 x (x^{2} (x - 2) - (x - 2)) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 2$ .

$30 x ((x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Paso 5.2.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$30 x ((x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Paso 5.2.5

Factoriza.

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Paso 5.2.5.1

Factoriza.

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Paso 5.2.5.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$30 x ((x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Paso 5.2.5.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$30 x ((x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 5.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$30 x (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.7

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.7.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.7.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $30 x (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2, - 1, 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 2, - 1, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$120 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$120 \cdot 0 - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

Paso 9.1.2

Multiplica $120$ por $0$ .

$0 - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 180 \cdot 0 - 60 \cdot 0 + 60$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 180$ por $0$ .

$0 + 0 - 60 \cdot 0 + 60$

Paso 9.1.5

Multiplica $- 60$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 60$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 + 60$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 60$

Paso 9.2.3

Suma $0$ y $60$ .

$60$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 6 {(0)}^{5} - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 15 \cdot 0 - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $- 15$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 30 {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 30 {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 30 \cdot 0$

Paso 11.2.1.8

Multiplica $30$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 11.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 11.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 11.2.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$120 {(2)}^{3} - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$120 \cdot 8 - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

Paso 13.1.2

Multiplica $120$ por $8$ .

$960 - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

Paso 13.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$960 - 180 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 60$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 180$ por $4$ .

$960 - 720 - 60 \cdot 2 + 60$

Paso 13.1.5

Multiplica $- 60$ por $2$ .

$960 - 720 - 120 + 60$

Paso 13.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Resta $720$ de $960$ .

$240 - 120 + 60$

Paso 13.2.2

Resta $120$ de $240$ .

$120 + 60$

Paso 13.2.3

Suma $120$ y $60$ .

$180$

Paso 14

$x = 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 6 {(2)}^{5} - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (2) = 6 \cdot 32 - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $6$ por $32$ .

$f (2) = 192 - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Paso 15.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (2) = 192 - 15 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Paso 15.2.1.4

Multiplica $- 15$ por $16$ .

$f (2) = 192 - 240 - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Paso 15.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 192 - 240 - 10 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

Paso 15.2.1.6

Multiplica $- 10$ por $8$ .

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 30 {(2)}^{2}$

Paso 15.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 30 \cdot 4$

Paso 15.2.1.8

Multiplica $30$ por $4$ .

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 120$

Paso 15.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Resta $240$ de $192$ .

$f (2) = - 48 - 80 + 120$

Paso 15.2.2.2

Resta $80$ de $- 48$ .

$f (2) = - 128 + 120$

Paso 15.2.2.3

Suma $- 128$ y $120$ .

$f (2) = - 8$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $- 8$ .

$y = - 8$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$120 {(- 1)}^{3} - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$120 \cdot - 1 - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

Paso 17.1.2

Multiplica $120$ por $- 1$ .

$- 120 - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

Paso 17.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 120 - 180 \cdot 1 - 60 \cdot - 1 + 60$

Paso 17.1.4

Multiplica $- 180$ por $1$ .

$- 120 - 180 - 60 \cdot - 1 + 60$

Paso 17.1.5

Multiplica $- 60$ por $- 1$ .

$- 120 - 180 + 60 + 60$

Paso 17.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Resta $180$ de $- 120$ .

$- 300 + 60 + 60$

Paso 17.2.2

Suma $- 300$ y $60$ .

$- 240 + 60$

Paso 17.2.3

Suma $- 240$ y $60$ .

$- 180$

Paso 18

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = 6 \cdot - 1 - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 19.2.1.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 19.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 \cdot 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 19.2.1.4

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 19.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 - 10 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 19.2.1.6

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 19.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30 \cdot 1$

Paso 19.2.1.8

Multiplica $30$ por $1$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30$

Paso 19.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.2.1

Resta $15$ de $- 6$ .

$f (- 1) = - 21 + 10 + 30$

Paso 19.2.2.2

Suma $- 21$ y $10$ .

$f (- 1) = - 11 + 30$

Paso 19.2.2.3

Suma $- 11$ y $30$ .

$f (- 1) = 19$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $19$ .

$y = 19$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$120 {(1)}^{3} - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$120 \cdot 1 - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

Paso 21.1.2

Multiplica $120$ por $1$ .

$120 - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

Paso 21.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$120 - 180 \cdot 1 - 60 \cdot 1 + 60$

Paso 21.1.4

Multiplica $- 180$ por $1$ .

$120 - 180 - 60 \cdot 1 + 60$

Paso 21.1.5

Multiplica $- 60$ por $1$ .

$120 - 180 - 60 + 60$

Paso 21.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1

Resta $180$ de $120$ .

$- 60 - 60 + 60$

Paso 21.2.2

Resta $60$ de $- 60$ .

$- 120 + 60$

Paso 21.2.3

Suma $- 120$ y $60$ .

$- 60$

Paso 22

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 23

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 6 {(1)}^{5} - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Paso 23.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 6 \cdot 1 - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Paso 23.2.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (1) = 6 - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Paso 23.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 6 - 15 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Paso 23.2.1.4

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$f (1) = 6 - 15 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Paso 23.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 6 - 15 - 10 \cdot 1 + 30 {(1)}^{2}$

Paso 23.2.1.6

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30 {(1)}^{2}$

Paso 23.2.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30 \cdot 1$

Paso 23.2.1.8

Multiplica $30$ por $1$ .

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30$

Paso 23.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.2.2.1

Resta $15$ de $6$ .

$f (1) = - 9 - 10 + 30$

Paso 23.2.2.2

Resta $10$ de $- 9$ .

$f (1) = - 19 + 30$

Paso 23.2.2.3

Suma $- 19$ y $30$ .

$f (1) = 11$

Paso 23.2.3

La respuesta final es $11$ .

$y = 11$

Paso 24

Estos son los extremos locales de $f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

$(2, - 8)$ es un mínimo local

$(- 1, 19)$ es un máximo local

$(1, 11)$ es un máximo local

Paso 25