Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + \cos (2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 1.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

Paso 1.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

Paso 1.3.7

Suma $2$ y $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

Paso 1.3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Paso 2.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Paso 2.2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Paso 2.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

Paso 2.2.8

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

Paso 2.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

Paso 2.2.10

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

Paso 2.3

Resta $4 \cos (2 x + 1)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

Paso 4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

Paso 5

Divide cada término en $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\sin (2 x + 1)$ por $1$ .

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

Paso 6

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{5}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 7

Evalúa la segunda derivada en $x =$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 \cos (2 + 1)$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 8.1

Suma $2$ y $1$ .

$- 4 \cos (3)$

Paso 8.2

Evalúa $\cos (3)$ .

$- 4 \cdot 0.99862953$

Paso 8.3

Multiplica $- 4$ por $0.99862953$ .

$- 3.99451813$

Paso 9

$x =$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x =$ es un máximo local

Paso 10

Estos son los extremos locales de $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ es un máximo local

Paso 11