Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$5 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.7

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + 0$

Paso 1.4.2

Suma $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ y $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + 48 \sin (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en la ecuación por $\cos (2 x)$ .

$\frac{- 10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 5

Separa las fracciones.

$\frac{- 10}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 6

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\frac{- 10}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 7

Divide $- 10$ por $1$ .

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $\cos (2 x)$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 8.2

Divide $- 24$ por $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 9

Separa las fracciones.

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 10

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Paso 11

Divide $0$ por $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0 \sec (2 x)$

Paso 12

Multiplica $0$ por $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0$

Paso 13

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$- 10 \tan (2 x) = 24$

Paso 14

Divide cada término en $- 10 \tan (2 x) = 24$ por $- 10$ y simplifica.

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Paso 14.1

Divide cada término en $- 10 \tan (2 x) = 24$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Paso 14.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ .

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Paso 14.2.1.2

Divide $\tan (2 x)$ por $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{24}{- 10}$

Paso 14.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.3.1

Cancela el factor común de $24$ y $- 10$ .

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Paso 14.3.1.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 (12)}{- 10}$

Paso 14.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Paso 14.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Paso 14.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\tan (2 x) = \frac{12}{- 5}$

Paso 14.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (2 x) = - \frac{12}{5}$

Paso 15

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$2 x = \arctan (- \frac{12}{5})$

Paso 16

Simplifica el lado derecho.

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Paso 16.1

Evalúa $\arctan (- \frac{12}{5})$ .

$2 x = - 1.1760052$

Paso 17

Divide cada término en $2 x = - 1.1760052$ por $2$ y simplifica.

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Paso 17.1

Divide cada término en $2 x = - 1.1760052$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Paso 17.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Paso 17.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1.1760052}{2}$

Paso 17.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.3.1

Divide $- 1.1760052$ por $2$ .

$x = - 0.5880026$

Paso 18

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265)$

Paso 19

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 19.1

Suma $2 π$ a $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265) + 2 π$

Paso 19.2

El ángulo resultante de $1.96558744$ es positivo y coterminal con $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = 1.96558744$

Paso 19.3

Divide cada término en $2 x = 1.96558744$ por $2$ y simplifica.

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Paso 19.3.1

Divide cada término en $2 x = 1.96558744$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Paso 19.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Paso 19.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1.96558744}{2}$

Paso 19.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 19.3.3.1

Divide $1.96558744$ por $2$ .

$x = 0.98279372$

Paso 20

La solución a la ecuación $2 x = - 1.1760052$ .

$x = - 0.5880026, 0.98279372$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada en $x = - 0.5880026$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 20 \cos (2 (- 0.5880026)) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Paso 22

Simplifica cada término.

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Paso 22.1

Multiplica $2$ por $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Paso 22.2

Multiplica $2$ por $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (- 1.1760052)$

Paso 23

$x = - 0.5880026$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 0.5880026$ es un máximo local

Paso 24

Obtén el valor de y cuando $x = - 0.5880026$ .

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Paso 24.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5880026$ en la expresión.

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (2 (- 0.5880026)) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Paso 24.2

Simplifica el resultado.

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Paso 24.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Paso 24.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Paso 24.2.2

La respuesta final es $5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$ .

$y = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Paso 25

Evalúa la segunda derivada en $x = 0.98279372$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 20 \cos (2 (0.98279372)) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Paso 26

Simplifica cada término.

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Paso 26.1

Multiplica $2$ por $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Paso 26.2

Multiplica $2$ por $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (1.96558744)$

Paso 27

$x = 0.98279372$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0.98279372$ es un mínimo local

Paso 28

Obtén el valor de y cuando $x = 0.98279372$ .

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Paso 28.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.98279372$ en la expresión.

$f (0.98279372) = 5 \cos (2 (0.98279372)) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Paso 28.2

Simplifica el resultado.

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Paso 28.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 28.2.1.1

Multiplica $2$ por $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Paso 28.2.1.2

Multiplica $2$ por $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Paso 28.2.2

La respuesta final es $5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$ .

$y = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Paso 29

Estos son los extremos locales de $f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ .

$(- 0.5880026, 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3)$ es un máximo local

$(0.98279372, 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3)$ es un mínimo local

Paso 30