Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

Paso 1.5

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.8

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Paso 2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x))$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Paso 5

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 5.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 6

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 6.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + 10 \cdot 1^{2}$

Paso 9.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 + 10 \cdot 1$

Paso 9.1.6

Multiplica $10$ por $1$ .

$0 + 10$

Paso 9.2

Suma $0$ y $10$ .

$10$

Paso 10

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Paso 11.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0$

Paso 11.2.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 13.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 13.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 13.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Paso 13.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Paso 13.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 10 {(- 1)}^{2}$

Paso 13.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$0 + 10 \cdot 1$

Paso 13.1.9

Multiplica $10$ por $1$ .

$0 + 10$

Paso 13.2

Suma $0$ y $10$ .

$10$

Paso 14

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 15.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Paso 15.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0$

Paso 15.2.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Paso 15.2.5

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 10 \cos^{2} (0) + 10 \sin^{2} (0)$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin^{2} (0)$

Paso 17.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (0)$

Paso 17.1.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Paso 17.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Paso 17.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Paso 17.1.6

Multiplica $10$ por $0$ .

$- 10 + 0$

Paso 17.2

Suma $- 10$ y $0$ .

$- 10$

Paso 18

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 5 \cos^{2} (0)$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 5 \cdot 1^{2}$

Paso 19.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (0) = 5 \cdot 1$

Paso 19.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (0) = 5$

Paso 19.2.4

La respuesta final es $5$ .

$y = 5$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 10 \cos^{2} (π) + 10 \sin^{2} (π)$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 21.1

Simplifica cada término.

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Paso 21.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 10 {(- \cos (0))}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Paso 21.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Paso 21.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Paso 21.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (π)$

Paso 21.1.5

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (π)$

Paso 21.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Paso 21.1.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Paso 21.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Paso 21.1.9

Multiplica $10$ por $0$ .

$- 10 + 0$

Paso 21.2

Suma $- 10$ y $0$ .

$- 10$

Paso 22

$x = π$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = π$ es un máximo local

Paso 23

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

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Paso 23.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = 5 \cos^{2} (π)$

Paso 23.2

Simplifica el resultado.

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Paso 23.2.1

$f (π) = 5 {(- \cos (0))}^{2}$

Paso 23.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Paso 23.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1)}^{2}$

Paso 23.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (π) = 5 \cdot 1$

Paso 23.2.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (π) = 5$

Paso 23.2.6

La respuesta final es $5$ .

$y = 5$

Paso 24

Estos son los extremos locales de $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 0)$ es un mínimo local

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ es un mínimo local

$(0, 5)$ es un máximo local

$(π, 5)$ es un máximo local

Paso 25