Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Paso 1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ y $g (x) = 6 + 5 x$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 + 5 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 + 5 x$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]))$

Paso 1.2.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [5 x]))$

Paso 1.2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1))$

Paso 1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Paso 1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Paso 1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Paso 1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Paso 1.2.10.2

Resta $5$ de $2$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Paso 1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Paso 1.2.12

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5))$

Paso 1.2.13

Suma $0$ y $5$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

Paso 1.2.14

Combina $\frac{2}{5}$ y ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

Paso 1.2.15

Combina $\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ y $5$ .

$0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Paso 1.2.16

Multiplica $5$ por $2$ .

$0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Paso 1.2.17

Mueve ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 1.2.18

Factoriza $5$ de $10$ .

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 1.2.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.19.1

Factoriza $5$ de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Paso 1.2.19.2

Cancela el factor común.

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 1.2.19.3

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 1.3

Resta $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ de $0$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ como ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot - 1}$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}$

Paso 2.1.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}}$

Paso 2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{3}{5}}$ y $g (x) = 6 + 5 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 + 5 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} u^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 + 5 x$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.6.2

Resta $5$ de $- 3$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.7.2

Combina ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ y $\frac{3}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{{(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3 \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.7.3.2

Mueve ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.7.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 2.7.4

Combina $\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

Paso 2.7.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))$

Paso 2.9

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (5 x))$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.12

Simplifica los términos.

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Paso 2.12.1

Combina $5$ y $\frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.12.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{30}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.12.3

Factoriza $5$ de $30$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $5$ de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}})} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot 1$

Paso 2.15

Simplifica la expresión.

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Paso 2.15.1

Multiplica $\frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$

Paso 2.15.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{6}{{(5 x + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

Paso 4.1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ y $g (x) = 6 + 5 x$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 + 5 x$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 4.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 4.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 + 5 x$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))))$

Paso 4.1.2.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (5 x))))$

Paso 4.1.2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} (x))))$

Paso 4.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1)))$

Paso 4.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Paso 4.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Paso 4.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Paso 4.1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Paso 4.1.2.10.2

Resta $5$ de $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Paso 4.1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Paso 4.1.2.12

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5)))$

Paso 4.1.2.13

Suma $0$ y $5$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

Paso 4.1.2.14

Combina $\frac{2}{5}$ y ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

Paso 4.1.2.15

Combina $\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ y $5$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Paso 4.1.2.16

Multiplica $5$ por $2$ .

$f' (x) = 0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Paso 4.1.2.17

Mueve ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 4.1.2.18

Factoriza $5$ de $10$ .

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 4.1.2.19

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.19.1

Factoriza $5$ de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Paso 4.1.2.19.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 4.1.2.19.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 4.1.3

Resta $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 5.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}$ como ${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 + 5 x)}^{3} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(6 + 5 x)}^{3} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Establece $6 + 5 x$ igual a $0$ .

$6 + 5 x = 0$

Paso 6.3.3.2

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 6$

Paso 6.3.3.2.2

Divide cada término en $5 x = - 6$ por $5$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 6$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Paso 6.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Paso 6.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Paso 6.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6}{5}$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{6}{5}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{6}{5}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{6}{{(5 (- \frac{6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{5}$ al numerador.

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Paso 9.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{{(- 6 + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Paso 9.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$\frac{6}{0^{\frac{8}{5}}}$

Paso 9.2.2

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$\frac{6}{{(0^{5})}^{\frac{8}{5}}}$

Paso 9.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{0^{8}}$

Paso 9.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{6}{0}$

Paso 9.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{6}{5})$ en la primera derivada $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 + 5 (- 4))}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 - 20)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 10.2.2.1.2

Resta $20$ de $6$ .

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 10.2.2.2

La respuesta final es $- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \frac{6}{5}, \infty)$ en la primera derivada $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 5 (0))}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.2.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 0)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 10.3.2.1.2

Suma $6$ y $0$ .

$f' (0) = - \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

Paso 10.3.2.2

La respuesta final es $- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = - \frac{6}{5}$ , $x = - \frac{6}{5}$ es un máximo local.

$x = - \frac{6}{5}$ es un máximo local

Paso 11