Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x \ln (x) - 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.6.2

Reescribe la expresión.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Paso 1.4.2.2

Resta $7$ de $4$ .

$4 \ln (x) - 3$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \ln (x) - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{4}{x}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x \ln (x) - 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2.6.2

Reescribe la expresión.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Paso 4.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.1.4.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Paso 4.1.4.2.2

Resta $7$ de $4$ .

$f' (x) = 4 \ln (x) - 3$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 \ln (x) - 3$ .

$4 \ln (x) - 3$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 \ln (x) - 3 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \ln (x) = 3$

Paso 5.3

Divide cada término en $4 \ln (x) = 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $4 \ln (x) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{3}{4}$

Paso 5.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (x) = \frac{3}{4}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{4}} = x$

Paso 5.6

Reescribe la ecuación como $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = e^{\frac{3}{4}}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4}{e^{\frac{3}{4}}}$

Paso 9

$x = e^{\frac{3}{4}}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = e^{\frac{3}{4}}$ es un mínimo local

Paso 10

Obtén el valor de y cuando $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $e^{\frac{3}{4}}$ en la expresión.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) \ln (e^{\frac{3}{4}}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{3}{4}$ fuera del exponente.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot \ln (e)) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2.1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot 1) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2.1.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = e^{\frac{3}{4}} \cdot 3 - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 3 e^{\frac{3}{4}} - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2.2

Resta $7 e^{\frac{3}{4}}$ de $3 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 10.2.3

La respuesta final es $- 4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$y = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Paso 11

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$ .

$(e^{\frac{3}{4}}, - 4 e^{\frac{3}{4}})$ es un mínimo local

Paso 12