Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 12)}^{2}$ como $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Paso 1.2

Expande $(x - 12) (x - 12)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 12$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Paso 1.3.2

Resta $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.5

Diferencia.

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Paso 1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 24 x + 144$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.5.3

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.5.5

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.5.6

Como $144$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $144$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.5.7

Suma $2 x - 24$ y $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Paso 1.5.9

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4

Combina los términos.

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Paso 1.6.4.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.4.1.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 1.6.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.3

Mueve $- 24$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.4.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.4.3

Suma $3$ y $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.5

Multiplica $- 24$ por $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.6

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.4.6.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.6.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.4.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.6.3

Suma $3$ y $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 1.6.4.7

Multiplica $4$ por $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Paso 1.6.4.8

Suma $2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Paso 1.6.4.9

Resta $96 x^{4}$ de $- 24 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{5}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Paso 2.2.3

Multiplica $5$ por $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 120 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $- 120$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $576$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $576 x^{3}$ con respecto a $x$ es $576 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 (3 x^{2})$

Paso 2.4.3

Multiplica $3$ por $576$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 1728 x^{2}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reescribe ${(x - 12)}^{2}$ como $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Paso 4.1.2

Expande $(x - 12) (x - 12)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Paso 4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Paso 4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Paso 4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve $- 12$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Paso 4.1.3.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Paso 4.1.3.2

Resta $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Paso 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 24 x + 144$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.5.3

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.5.5

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.5.6

Como $144$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $144$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.5.7

Suma $2 x - 24$ y $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Paso 4.1.5.9

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Paso 4.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.1.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.3

Mueve $- 24$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.4.3

Suma $3$ y $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.5

Multiplica $- 24$ por $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.6

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.6.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.6.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.6.3

Suma $3$ y $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.7

Multiplica $4$ por $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.8

Suma $2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Paso 4.1.6.4.9

Resta $96 x^{4}$ de $- 24 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $6 x^{3}$ de $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $6 x^{3}$ de $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $6 x^{3}$ de $- 120 x^{4}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 576 x^{3} = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $6 x^{3}$ de $576 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $6 x^{3}$ de $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $6 x^{3}$ de $6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x + 96) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 20 x + 96$ con el método AC.

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Paso 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $96$ y cuya suma es $- 20$ .

$- 12, - 8$

Paso 5.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 x^{3} ((x - 12) (x - 8)) = 0$

Paso 5.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 12 = 0$

$x - 8 = 0$

Paso 5.4

Establece $x^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $x^{3}$ igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $x - 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x - 12$ igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 12$

Paso 5.6

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, 12, 8$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 12, 8$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$30 {(0)}^{4} - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$30 \cdot 0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Paso 9.1.2

Multiplica $30$ por $0$ .

$0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 480 \cdot 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 480$ por $0$ .

$0 + 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Paso 9.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + 1728 \cdot 0$

Paso 9.1.6

Multiplica $1728$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, 12) \cup (12, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.2.1.2

Multiplica $6$ por $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.2.1.4

Multiplica $- 120$ por $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.2.1.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 \cdot - 8$

Paso 10.2.2.1.6

Multiplica $576$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 - 4608$

Paso 10.2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 10.2.2.2.1

Resta $1920$ de $- 192$ .

$f' (- 2) = - 2112 - 4608$

Paso 10.2.2.2.2

Resta $4608$ de $- 2112$ .

$f' (- 2) = - 6720$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $- 6720$ .

$- 6720$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(0, 8)$ en la primera derivada $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Paso 10.3.2.1.2

Multiplica $6$ por $1024$ .

$f' (4) = 6144 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Paso 10.3.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f' (4) = 6144 - 120 \cdot 256 + 576 {(4)}^{3}$

Paso 10.3.2.1.4

Multiplica $- 120$ por $256$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 {(4)}^{3}$

Paso 10.3.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 \cdot 64$

Paso 10.3.2.1.6

Multiplica $576$ por $64$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 36864$

Paso 10.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 10.3.2.2.1

Resta $30720$ de $6144$ .

$f' (4) = - 24576 + 36864$

Paso 10.3.2.2.2

Suma $- 24576$ y $36864$ .

$f' (4) = 12288$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $12288$ .

$12288$

Paso 10.4

Sustituye cualquier número, como $10$ , del intervalo $(8, 12)$ en la primera derivada $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f' (10) = 6 {(10)}^{5} - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Paso 10.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.2.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $5$ .

$f' (10) = 6 \cdot 100000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Paso 10.4.2.1.2

Multiplica $6$ por $100000$ .

$f' (10) = 600000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Paso 10.4.2.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $4$ .

$f' (10) = 600000 - 120 \cdot 10000 + 576 {(10)}^{3}$

Paso 10.4.2.1.4

Multiplica $- 120$ por $10000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 {(10)}^{3}$

Paso 10.4.2.1.5

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 \cdot 1000$

Paso 10.4.2.1.6

Multiplica $576$ por $1000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576000$

Paso 10.4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 10.4.2.2.1

Resta $1200000$ de $600000$ .

$f' (10) = - 600000 + 576000$

Paso 10.4.2.2.2

Suma $- 600000$ y $576000$ .

$f' (10) = - 24000$

Paso 10.4.2.3

La respuesta final es $- 24000$ .

$- 24000$

Paso 10.5

Sustituye cualquier número, como $14$ , del intervalo $(12, \infty)$ en la primera derivada $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $14$ en la expresión.

$f' (14) = 6 {(14)}^{5} - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Paso 10.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.5.2.1.1

Eleva $14$ a la potencia de $5$ .

$f' (14) = 6 \cdot 537824 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Paso 10.5.2.1.2

Multiplica $6$ por $537824$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Paso 10.5.2.1.3

Eleva $14$ a la potencia de $4$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 \cdot 38416 + 576 {(14)}^{3}$

Paso 10.5.2.1.4

Multiplica $- 120$ por $38416$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 {(14)}^{3}$

Paso 10.5.2.1.5

Eleva $14$ a la potencia de $3$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 \cdot 2744$

Paso 10.5.2.1.6

Multiplica $576$ por $2744$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 1580544$

Paso 10.5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 10.5.2.2.1

Resta $4609920$ de $3226944$ .

$f' (14) = - 1382976 + 1580544$

Paso 10.5.2.2.2

Suma $- 1382976$ y $1580544$ .

$f' (14) = 197568$

Paso 10.5.2.3

La respuesta final es $197568$ .

$197568$

Paso 10.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 10.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 8$ , $x = 8$ es un máximo local.

$x = 8$ es un máximo local

Paso 10.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 12$ , $x = 12$ es un mínimo local.

$x = 12$ es un mínimo local

Paso 10.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$ .

$x = 0$ es un mínimo local

$x = 8$ es un máximo local

$x = 12$ es un mínimo local

$x = 0$ es un mínimo local

$x = 8$ es un máximo local

$x = 12$ es un mínimo local

Paso 11