Cálculo Ejemplos

$f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$ .

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.1.2

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 1.4.2

Como $36 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $- 2 x + y$ y $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Paso 1.5.3

Suma $- 2 x + y$ y $0$ .

$- 2 x + y$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 x + y = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.1.2

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Paso 4.1.4.2

Como $36 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Paso 4.1.5

Combina los términos.

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Paso 4.1.5.1

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Paso 4.1.5.2

Suma $- 2 x + y$ y $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Paso 4.1.5.3

Suma $- 2 x + y$ y $0$ .

$f' (x) = - 2 x + y$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x + y$ .

$- 2 x + y$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 x + y = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x + y = 0$

Paso 5.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 2 x = - y$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 2 x = - y$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{- 2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{y}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{y}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2$

Paso 9

$x = \frac{y}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{y}{2}$ es un máximo local

Paso 10

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{y}{2}$ .

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{y}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - {(\frac{y}{2})}^{2} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{2^{2}} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.1.3

Multiplica $(\frac{y}{2}) y$ .

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Paso 10.2.1.3.1

Combina $\frac{y}{2}$ y $y$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.1.3.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.1.3.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{1 + 1}}{2} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.2

Para escribir $\frac{y^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.5

Suma $- y^{2}$ y $y^{2} \cdot 2$ .

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Paso 10.2.5.1

Reordena $y^{2}$ y $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + 2 \cdot y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.5.2

Suma $- y^{2}$ y $2 \cdot y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Paso 10.2.6

Para escribir $- y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 36 y$

Paso 10.2.7

Combina $- y^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Paso 10.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Paso 10.2.9

Obtén el denominador común

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Paso 10.2.9.1

Escribe $18$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Paso 10.2.9.2

Multiplica $\frac{18}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Paso 10.2.9.3

Multiplica $\frac{18}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Paso 10.2.9.4

Escribe $36 y$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1}$

Paso 10.2.9.5

Multiplica $\frac{36 y}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 10.2.9.6

Multiplica $\frac{36 y}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y \cdot 4}{4}$

Paso 10.2.10

Simplifica los términos.

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Paso 10.2.10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Paso 10.2.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.10.2.1

Multiplica $18$ por $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Paso 10.2.10.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 36 y \cdot 4}{4}$

Paso 10.2.10.2.3

Multiplica $4$ por $36$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 144 y}{4}$

Paso 10.2.10.3

Resta $4 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Paso 10.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.11.1

Factoriza $3$ de $72 - 3 y^{2} + 144 y$ .

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Paso 10.2.11.1.1

Factoriza $3$ de $72$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Paso 10.2.11.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 144 y}{4}$

Paso 10.2.11.1.3

Factoriza $3$ de $144 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Paso 10.2.11.1.4

Factoriza $3$ de $3 (24) + 3 (- y^{2})$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Paso 10.2.11.1.5

Factoriza $3$ de $3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2} + 48 y)}{4}$

Paso 10.2.11.2

Reordena los términos.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- y^{2} + 48 y + 24)}{4}$

Paso 10.2.12

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 10.2.12.1

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) + 48 y + 24)}{4}$

Paso 10.2.12.2

Factoriza $- 1$ de $48 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) - (- 48 y) + 24)}{4}$

Paso 10.2.12.3

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2}) - (- 48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) + 24)}{4}$

Paso 10.2.12.4

Reescribe $24$ como $- 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) - 1 \cdot - 24)}{4}$

Paso 10.2.12.5

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2} - 48 y) - 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Paso 10.2.12.6

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.12.6.1

Reescribe $- (y^{2} - 48 y - 24)$ como $- 1 (y^{2} - 48 y - 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- 1 (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Paso 10.2.12.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{y}{2}) = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Paso 10.2.13

La respuesta final es $- \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$ .

$y = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Paso 11

Estos son los extremos locales de $f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ .

$(\frac{y}{2}, - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4})$ es un máximo local

Paso 12