Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{x}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 + 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$0 - 7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 1.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 1.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$0 - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 x^{- 3}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.4.3

Combina los términos.

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Paso 1.4.3.1

Combina $- 7$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{- 7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.4.3.3

Resta $\frac{7}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.4.3.4

Combina $16$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{7}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.2.10

Multiplica $- 2$ por $- 7$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{3}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{16}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 2.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 3$ por $16$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 x^{- 4}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Combina $14$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2.4.3.2

Combina $- 48$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

Paso 2.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Paso 4.1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{x}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Paso 4.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + 7 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Paso 4.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 + 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 4.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 4.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 4.1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 4.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 4.1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 4.1.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Paso 4.1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 4.1.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 3})$

Paso 4.1.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 x^{- 3}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 4.1.4.3.1

Combina $- 7$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{- 7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 0 - \frac{7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.4.3.3

Resta $\frac{7}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.4.3.4

Combina $16$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Paso 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 5.2.6

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 5.2.7

Los factores para $x^{3}$ son $x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $3$ veces.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $3$ veces.

Paso 5.2.8

El MCM de $x^{2}, x^{3}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x \cdot x$

Paso 5.2.9

Simplifica $x \cdot x \cdot x$ .

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Paso 5.2.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.9.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Paso 5.2.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1}$

Paso 5.2.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} x^{3} + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{3} + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 5.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 7 x + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 7 x + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 7 x + 16 = 0 x^{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{3}$ .

$- 7 x + 16 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- 7 x = - 16$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $- 7 x = - 16$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $- 7 x = - 16$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 7}$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{16}{7}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{7}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3

Establece el denominador en $\frac{16}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 6.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.4.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{16}{7}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{16}{7}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{14}{{(\frac{16}{7})}^{3}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{16}{7}$ .

$\frac{14}{\frac{16^{3}}{7^{3}}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.1.2

Eleva $16$ a la potencia de $3$ .

$\frac{14}{\frac{4096}{7^{3}}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{14}{\frac{4096}{343}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$14 (\frac{343}{4096}) - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.3.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$2 (7) \frac{343}{4096} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.3.2

Factoriza $2$ de $4096$ .

$2 \cdot 7 \frac{343}{2 \cdot 2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.3.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 7 \frac{343}{2 \cdot 2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.3.4

Reescribe la expresión.

$7 (\frac{343}{2048}) - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.4

Combina $7$ y $\frac{343}{2048}$ .

$\frac{7 \cdot 343}{2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.5

Multiplica $7$ por $343$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Paso 9.1.6

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{16}{7}$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{16^{4}}{7^{4}}}$

Paso 9.1.6.2

Eleva $16$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{65536}{7^{4}}}$

Paso 9.1.6.3

Eleva $7$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{65536}{2401}}$

Paso 9.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2401}{2048} - (48 (\frac{2401}{65536}))$

Paso 9.1.8

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 9.1.8.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$\frac{2401}{2048} - (16 (3) \frac{2401}{65536})$

Paso 9.1.8.2

Factoriza $16$ de $65536$ .

$\frac{2401}{2048} - (16 \cdot 3 \frac{2401}{16 \cdot 4096})$

Paso 9.1.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{2401}{2048} - (16 \cdot 3 \frac{2401}{16 \cdot 4096})$

Paso 9.1.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2401}{2048} - (3 (\frac{2401}{4096}))$

Paso 9.1.9

Combina $3$ y $\frac{2401}{4096}$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{3 \cdot 2401}{4096}$

Paso 9.1.10

Multiplica $3$ por $2401$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{7203}{4096}$

Paso 9.2

Para escribir $\frac{2401}{2048}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2401}{2048} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7203}{4096}$

Paso 9.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4096$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{2401}{2048}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2401 \cdot 2}{2048 \cdot 2} - \frac{7203}{4096}$

Paso 9.3.2

Multiplica $2048$ por $2$ .

$\frac{2401 \cdot 2}{4096} - \frac{7203}{4096}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2401 \cdot 2 - 7203}{4096}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Multiplica $2401$ por $2$ .

$\frac{4802 - 7203}{4096}$

Paso 9.5.2

Resta $7203$ de $4802$ .

$\frac{- 2401}{4096}$

Paso 9.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2401}{4096}$

Paso 10

$x = \frac{16}{7}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{16}{7}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{16}{7}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{16}{7}$ en la expresión.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{7}{\frac{16}{7}} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + 7 (\frac{7}{16}) - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $7 (\frac{7}{16})$ .

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Paso 11.2.1.2.1

Combina $7$ y $\frac{7}{16}$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{7 \cdot 7}{16} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

Paso 11.2.1.2.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

Paso 11.2.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{16}{7}$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{16^{2}}{7^{2}}}$

Paso 11.2.1.3.2

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{256}{7^{2}}}$

Paso 11.2.1.3.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{256}{49}}$

Paso 11.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{256}))$

Paso 11.2.1.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 11.2.1.5.1

Factoriza $8$ de $256$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{8 (32)}))$

Paso 11.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{8 \cdot 32}))$

Paso 11.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

Paso 11.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 11.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{1}{1} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

Paso 11.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{32}{32} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

Paso 11.2.2.4

Multiplica $\frac{49}{16}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49}{16} \cdot \frac{2}{2} - \frac{49}{32}$

Paso 11.2.2.5

Multiplica $\frac{49}{16}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{16 \cdot 2} - \frac{49}{32}$

Paso 11.2.2.6

Reordena los factores de $16 \cdot 2$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 16} - \frac{49}{32}$

Paso 11.2.2.7

Multiplica $2$ por $16$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{32} - \frac{49}{32}$

Paso 11.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32 + 49 \cdot 2 - 49}{32}$

Paso 11.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.4.1

Multiplica $49$ por $2$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32 + 98 - 49}{32}$

Paso 11.2.4.2

Suma $32$ y $98$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{130 - 49}{32}$

Paso 11.2.4.3

Resta $49$ de $130$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{81}{32}$

Paso 11.2.5

La respuesta final es $\frac{81}{32}$ .

$y = \frac{81}{32}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ .

$(\frac{16}{7}, \frac{81}{32})$ es un máximo local

Paso 13