Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + 0$

Paso 2.4.2

Suma $20 x^{3} - 48 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

Paso 5.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 16 = 80$ y cuya suma es $b = - 24$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $- 24$ de $- 24 u$ .

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

Paso 5.3.1.2

Reescribe $- 24$ como $- 4$ más $- 20$

$5 u^{2} + (- 4 - 20) u + 16 = 0$

Paso 5.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 u^{2} - 4 u - 20 u + 16 = 0$

Paso 5.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(5 u^{2} - 4 u) - 20 u + 16 = 0$

Paso 5.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (5 u - 4) - 4 (5 u - 4) = 0$

Paso 5.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 u - 4$ .

$(5 u - 4) (u - 4) = 0$

Paso 5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 u - 4 = 0$

$u - 4 = 0$

Paso 5.5

Establece $5 u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.5.1

Establece $5 u - 4$ igual a $0$ .

$5 u - 4 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $5 u - 4 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$5 u = 4$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $5 u = 4$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $5 u = 4$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

Paso 5.5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{4}{5}$

Paso 5.6

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.6.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 u - 4) (u - 4) = 0$ verdadera.

$u = \frac{4}{5}, 4$

Paso 5.8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{4}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Paso 5.9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{4}{5}$

Paso 5.10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.10.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}}$

Paso 5.10.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{5}}$ .

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Paso 5.10.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{5}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.10.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.10.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.10.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

Paso 5.10.2.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 5.10.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.10.2.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 5.10.2.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 5.10.2.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 5.10.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 5.10.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 5.10.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.10.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.10.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.10.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.10.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.10.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.10.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 5.10.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 5.10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 5.10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 5.10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 5.11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Paso 5.12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 4$

Paso 5.12.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 5.12.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 5.12.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 5.12.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 5.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 5.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 5.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 5.13

La solución a $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ es $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$20 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$20 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$20 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$20 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$20 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.2.4

Reescribe $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

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Paso 9.1.2.4.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$20 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.2.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$20 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$20 \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.2.6

Multiplica $8$ por $5$ .

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.4.2

Factoriza $5$ de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.4.3

Cancela el factor común.

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.4.4

Reescribe la expresión.

$4 \frac{40 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.5

Combina $4$ y $\frac{40 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (40 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.6

Multiplica $40$ por $4$ .

$\frac{160 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.7

Cancela el factor común de $160$ y $25$ .

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Paso 9.1.7.1

Factoriza $5$ de $160 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.7.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.8

Multiplica $- 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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Paso 9.1.8.1

Combina $- 48$ y $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 48 (2 \sqrt{5})}{5}$

Paso 9.1.8.2

Multiplica $2$ por $- 48$ .

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 96 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.2

Simplifica los términos.

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Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{32 \sqrt{5} - 96 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.2.2

Resta $96 \sqrt{5}$ de $32 \sqrt{5}$ .

$\frac{- 64 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{64 \sqrt{5}}{5}$

Paso 10

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{{(2 \sqrt{5})}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{5}$ como $\sqrt{5^{5}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{3125}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.2.4

Reescribe $3125$ como $25^{2} \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.4.1

Factoriza $625$ de $3125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.2.4.2

Reescribe $625$ como $25^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \cdot (25 \sqrt{5})}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.2.6

Multiplica $32$ por $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{800 \sqrt{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{800 \sqrt{5}}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $800$ y $3125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.4.1

Factoriza $25$ de $800 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.4.2.1

Factoriza $25$ de $3125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 (125)} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 \cdot 125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.6.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.6.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.6.4

Reescribe $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.4.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.6.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \cdot (5 \sqrt{5})}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.6.6

Multiplica $8$ por $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.7

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{40 \sqrt{5}}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.8

Cancela el factor común de $40$ y $125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.8.1

Factoriza $5$ de $40 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.8.2.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 (25)} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 \cdot 25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.9

Multiplica $- 8 \frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.9.1

Combina $- 8$ y $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{- 8 (8 \sqrt{5})}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.9.2

Multiplica $8$ por $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{- 64 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 11.2.1.11

Multiplica $16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.11.1

Combina $16$ y $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{16 (2 \sqrt{5})}{5}$

Paso 11.2.1.11.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Paso 11.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Multiplica $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - (\frac{64 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Paso 11.2.2.2

Multiplica $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25}$

Paso 11.2.2.4

Multiplica $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 11.2.2.5

Reordena los factores de $25 \cdot 5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 11.2.2.6

Multiplica $5$ por $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 11.2.2.7

Multiplica $5$ por $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Paso 11.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 64 \sqrt{5} \cdot 5 + 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Paso 11.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.4.1

Multiplica $5$ por $- 64$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $25$ por $32$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 800 \sqrt{5}}{125}$

Paso 11.2.5

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.5.1

Resta $320 \sqrt{5}$ de $32 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{5} + 800 \sqrt{5}}{125}$

Paso 11.2.5.2

Suma $- 288 \sqrt{5}$ y $800 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $\frac{512 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$20 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$20 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$20 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.3.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.3.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.3.4

Reescribe $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.4.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.3.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$20 (- \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.3.6

Multiplica $8$ por $5$ .

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{40 \sqrt{5}}{125}$ al numerador.

$20 \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.5.2

Factoriza $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.5.3

Factoriza $5$ de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.5.4

Cancela el factor común.

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.5.5

Reescribe la expresión.

$4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.6

Combina $4$ y $\frac{- 40 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (- 40 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.7

Multiplica $- 40$ por $4$ .

$\frac{- 160 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.8

Cancela el factor común de $- 160$ y $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.8.1

Factoriza $5$ de $- 160 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.8.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 13.1.10

Multiplica $- 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 48$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 13.1.10.2

Combina $48$ y $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{48 (2 \sqrt{5})}{5}$

Paso 13.1.10.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

Paso 13.2

Simplifica los términos.

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Paso 13.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 32 \sqrt{5} + 96 \sqrt{5}}{5}$

Paso 13.2.2

Suma $- 32 \sqrt{5}$ y $96 \sqrt{5}$ .

$\frac{64 \sqrt{5}}{5}$

Paso 14

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ en la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 15.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.3.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{5}$ como $\sqrt{5^{5}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.3.3

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{3125}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.3.4

Reescribe $3125$ como $25^{2} \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.3.4.1

Factoriza $625$ de $3125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.3.4.2

Reescribe $625$ como $25^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \cdot (25 \sqrt{5})}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.3.6

Multiplica $32$ por $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{800 \sqrt{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{800 \sqrt{5}}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.5

Cancela el factor común de $800$ y $3125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.5.1

Factoriza $25$ de $800 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.5.2.1

Factoriza $25$ de $3125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 (125)} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 \cdot 125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.6.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.6.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.1.8.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.8.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.8.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.8.4

Reescribe $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.8.4.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.8.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.8.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \cdot (5 \sqrt{5})}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.8.6

Multiplica $8$ por $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.9

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.10

Cancela el factor común de $40$ y $125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.10.1

Factoriza $5$ de $40 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.10.2.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 (25)}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.10.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 \cdot 25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.10.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.11

Multiplica $- 8 (- \frac{8 \sqrt{5}}{25})$ .

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Paso 15.2.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + 8 (\frac{8 \sqrt{5}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.11.2

Combina $8$ y $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{8 (8 \sqrt{5})}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.11.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 15.2.1.12

Multiplica $16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

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Paso 15.2.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} - 16 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 15.2.1.12.2

Combina $- 16$ y $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{- 16 (2 \sqrt{5})}{5}$

Paso 15.2.1.12.3

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{- 32 \sqrt{5}}{5}$

Paso 15.2.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Paso 15.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Multiplica $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Paso 15.2.2.2

Multiplica $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Paso 15.2.2.3

Multiplica $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - (\frac{32 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25})$

Paso 15.2.2.4

Multiplica $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 15.2.2.5

Reordena los factores de $25 \cdot 5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 15.2.2.6

Multiplica $5$ por $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 15.2.2.7

Multiplica $5$ por $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Paso 15.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 64 \sqrt{5} \cdot 5 - 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Paso 15.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.4.1

Multiplica $5$ por $64$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 320 \sqrt{5} - 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Paso 15.2.4.2

Multiplica $25$ por $- 32$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 320 \sqrt{5} - 800 \sqrt{5}}{125}$

Paso 15.2.5

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 15.2.5.1

Suma $- 32 \sqrt{5}$ y $320 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{288 \sqrt{5} - 800 \sqrt{5}}{125}$

Paso 15.2.5.2

Resta $800 \sqrt{5}$ de $288 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 512 \sqrt{5}}{125}$

Paso 15.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Paso 15.2.6

La respuesta final es $- \frac{512 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$20 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$20 \cdot 8 - 48 \cdot 2$

Paso 17.1.2

Multiplica $20$ por $8$ .

$160 - 48 \cdot 2$

Paso 17.1.3

Multiplica $- 48$ por $2$ .

$160 - 96$

Paso 17.2

Resta $96$ de $160$ .

$64$

Paso 18

$x = 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{5} - 8 {(2)}^{3} + 16 (2)$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (2) = 32 - 8 {(2)}^{3} + 16 (2)$

Paso 19.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 32 - 8 \cdot 8 + 16 (2)$

Paso 19.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $8$ .

$f (2) = 32 - 64 + 16 (2)$

Paso 19.2.1.4

Multiplica $16$ por $2$ .

$f (2) = 32 - 64 + 32$

Paso 19.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 19.2.2.1

Resta $64$ de $32$ .

$f (2) = - 32 + 32$

Paso 19.2.2.2

Suma $- 32$ y $32$ .

$f (2) = 0$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$20 {(- 2)}^{3} - 48 \cdot - 2$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 21.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$20 \cdot - 8 - 48 \cdot - 2$

Paso 21.1.2

Multiplica $20$ por $- 8$ .

$- 160 - 48 \cdot - 2$

Paso 21.1.3

Multiplica $- 48$ por $- 2$ .

$- 160 + 96$

Paso 21.2

Suma $- 160$ y $96$ .

$- 64$

Paso 22

$x = - 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 2$ es un máximo local

Paso 23

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{5} - 8 {(- 2)}^{3} + 16 (- 2)$

Paso 23.2

Simplifica el resultado.

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Paso 23.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$f (- 2) = - 32 - 8 {(- 2)}^{3} + 16 (- 2)$

Paso 23.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = - 32 - 8 \cdot - 8 + 16 (- 2)$

Paso 23.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$f (- 2) = - 32 + 64 + 16 (- 2)$

Paso 23.2.1.4

Multiplica $16$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 32 + 64 - 32$

Paso 23.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 23.2.2.1

Suma $- 32$ y $64$ .

$f (- 2) = 32 - 32$

Paso 23.2.2.2

Resta $32$ de $32$ .

$f (- 2) = 0$

Paso 23.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 24

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ .

$(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ es un máximo local

$(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ es un mínimo local

$(2, 0)$ es un mínimo local

$(- 2, 0)$ es un máximo local

Paso 25