Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 - x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.2.9

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.3

Resta $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ de $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 1}{3}}$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Paso 2.7.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.10

Multiplica.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Paso 2.10.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Paso 2.11

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Paso 2.12

Multiplica.

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Paso 2.12.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Paso 2.12.2

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 4.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 4.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 4.1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 4.1.2.9

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.3

Resta $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 5.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{2}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{2}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2

La respuesta final es $- \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Mueve ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = - \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.2.2.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 10.3.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f' (2) = - \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = - \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.2.4

Resta $1$ de $3$ .

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11