Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Factoriza $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x (x - 4) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4

Evalúa $\frac{x^{2}}{x - 2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 - 2}$

Paso 4.1.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{0}{- 2}$

Paso 4.1.2.3

Divide $0$ por $- 2$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{4 - 2}$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{16}{2}$

Paso 4.2.2.3

Divide $16$ por $2$ .

$8$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{{(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{{(2)}^{2}}{0}$

Paso 4.3.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (4, 8)$

Paso 5