Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.2.8

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1)$

Paso 2.3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1)$

Paso 2.3.8

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Paso 2.3.9

Multiplica $e^{3 x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = 9 (x^{2} (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 (e^{3 x} (x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Paso 2.4.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 e^{3 x} x + 6 (x (e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Paso 2.4.3.4

Suma $6 e^{3 x} x$ y $6 x e^{3 x}$ .

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Paso 2.4.3.4.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Paso 2.4.3.4.2

Suma $6 x e^{3 x}$ y $6 x e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

Paso 2.4.5

Reordena los factores en $9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reordena los términos.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Paso 4.1.4.2

Reordena los factores en $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $x e^{3 x}$ de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x e^{3 x}$ de $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $x e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $x e^{3 x}$ de $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $e^{3 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $e^{3 x}$ igual a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $e^{3 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Paso 5.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.5.2.3

No hay soluciones para $e^{3 x} = 0$

No hay solución

Paso 5.6

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 5.6.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.6.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 5.6.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.6.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 5.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 5.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 5.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$9 {(0)}^{2} e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$9 \cdot 0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 e^{0} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.6

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 + 0 e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.7

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.9

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{3 (0)}$

Paso 9.1.10

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Paso 9.1.11

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Paso 9.1.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 0 + 2$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 2$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{3 (0)}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 e^{3 (0)}$

Paso 11.2.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Paso 11.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Paso 11.2.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.5

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{2}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$9 {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 13.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.3

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$9 \frac{2^{2}}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$9 \frac{4}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 13.1.6.1

Cancela el factor común.

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.6.2

Reescribe la expresión.

$4 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.7.2

Cancela el factor común.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.7.3

Reescribe la expresión.

$4 e^{- 2} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.9

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.10

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.10.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (\frac{- 2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.10.2

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 3 (4) \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.10.3

Cancela el factor común.

$\frac{4}{e^{2}} + 3 \cdot 4 \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.10.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{e^{2}} + 4 \cdot - 2 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.11

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.13

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.14

Combina $- 8$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 13.1.16

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.16.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Paso 13.1.16.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Paso 13.1.16.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Paso 13.1.17

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Paso 13.1.18

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Paso 13.2

Combina fracciones.

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Paso 13.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Paso 13.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 13.2.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Paso 13.2.2.2

Suma $- 4$ y $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Paso 13.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Paso 14

$x = - \frac{2}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{2}{3}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{2}{3}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 15.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 15.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 15.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 15.2.2.2

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 15.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 15.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 15.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Paso 15.2.3.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Paso 15.2.3.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{- 2}$

Paso 15.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Paso 15.2.5

Combinar.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 \cdot 1}{9 e^{2}}$

Paso 15.2.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9 e^{2}}$

Paso 15.2.7

La respuesta final es $\frac{4}{9 e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{9 e^{2}}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} e^{3 x}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

$(- \frac{2}{3}, \frac{4}{9 e^{2}})$ es un máximo local

Paso 17