Cálculo Ejemplos

$- 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $- 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int - 2 x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u = 8 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 8 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 5.1.2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 5.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 6.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 10.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 10.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Paso 10.1.3

Multiplica $\int \sqrt{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Paso 10.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$